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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 17.06.2008 | | Autor: | Markus_H |
| Aufgabe | ges.:
p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^2 [/mm] + [mm] a_{3}x^3 [/mm] + [mm] a_{4}x^4
[/mm]
mit [mm] p^{(k)}(0) [/mm] = [mm] f^{(k)}(0) [/mm] für k = 0,1,...,4.
Vergleiche für
a) f(x) = cos x
b) f(x) = sin x
c) f(x) = [mm] e^x
[/mm]
ihre Polyn. mit den Reihendarstellungen
cos x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^(2k)}{(2k)!}
[/mm]
sin x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^(2k+1)}{(2k+1)!}
[/mm]
[mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] |
Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz.
Es gibt noch folgenden Tipp zur Berechnung:
i) 3x ein 5x5-Gleichungssytem lösen oder:
ii) durch Nachdenken:
aus [mm] p^{(k)}(0) [/mm] = [mm] f^{(k)}(0)--> [/mm] was folgt für [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{4}?
[/mm]
Wär toll, wenn mir das einer erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 17.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Immer erst mal anfangen die Informationen aufzuschreiben:
z. Bsp für f(x)=cosx f(0)=1, f'(0)=0 f''(0)=-1 f'''(0)=0 f''''(0)=1 usw.
dannn
[mm] p(0)=a_0 [/mm] daraus [mm] a_0=...
[/mm]
[mm] p'(0)=1*a_1 [/mm] daraus [mm] a_1=
[/mm]
p''(0)=... daraus...
P'''(0)=...
p''''(0)=...
daraus [mm] a_4=... [/mm] usw!
du kannst [mm] a_i [/mm] explizit für cosx ausrechnen oder einfach aus f''''(0) allgemein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 17.06.2008 | | Autor: | Markus_H |
Ah, vielen Dank.
Damit habe ich die Problemstellung schon besser verstanden.
Aber ich versteh noch nicht ganz, wie ich auf die [mm] a_{i} [/mm] komme?
p(0) = [mm] a_{0}
[/mm]
ich würde sagen: daraus [mm] a_{0}=0 [/mm]
oder muss ich nur die Ableitungen beachten?
Bin mir da leider noch nicht so vetraut mit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Di 17.06.2008 | | Autor: | max3000 |
[mm] a_0=f(0)
[/mm]
Das ist denk ich mal das, was die wissen wollen.
Für cos ist das dann zum Beispiel cos(0)=1, also ist auch [mm] a_0=1
[/mm]
Verglichen mit der gegebenen Cosinusreihe, da nimmst du mal den 1. Summanden von der Summe, und der ist tatsächlich 1.
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