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| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Funktion f: R hoch 2 \ [mm] \{(x,y) \ in R hoch 2 | x+y=1 \}-> [/mm] R, (x,y) -> [mm] \bruch{1}{1/1-x-y} [/mm] die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt (0,0). |
Hallo,
ich hätte eine kleine Frage zu dieser Aufgabe. Ich habe mir zunächst mal überlegt, wie die vermutete Taylorformel aussieht, also f((0,0) + a) = 1 + [mm] \summe_{|\alpha |=k+1}^{}. [/mm] Ich will das ganze nun per Induktion beweisen (weil das muss man ja, da die Funktion in (0,0) nicht stetig partiell diffbar ist. Der Induktionsanfang ist kein Problem, aber wie ich den Rest machen soll, ist mir irgendwie schleierhaft. Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke schon mal.
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> Berechnen Sie für die Funktion $\ f: [mm] \IR^2\backslash\{(x,y) \in \IR^2\ |\ x+y=1 \}\to\IR$
[/mm]
>(x,y) -> [mm]\bruch{1}{1/1-x-y}[/mm] die Taylorreihe mit
> Entwicklungspunkt (0,0).
Hallo MissPocahontas,
Würdest du bitte zunächst einmal den Funktions-
term mit dem Formeleditor bzw. mittels Klammern
so schreiben, dass man ihn mit Sicherheit richtig
lesen kann.
Danke.
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Der Funktionsterm hatte einen Fehler, wie ich sehe.
f(x,y) = [mm] \bruch{1}{1 - x - y}
[/mm]
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> Der Funktionsterm hatte einen Fehler, wie ich sehe.
> f(x,y) = [mm]\bruch{1}{1 - x - y}[/mm]
In diesem Fall war das eigentlich gar kein "echter" Fehler ...
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Ja kann sein ;) Wie ich die Induktion machen soll, weiß ich dennoch leider nicht ,)
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> Ja kann sein ;) Wie ich die Induktion machen soll, weiß ich
> dennoch leider nicht ,)
schau da nach: https://matheraum.de/read?i=565400
LG Al-Chw.
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> Berechnen Sie für die Funktion $ \ f: [mm] \IR^2\backslash\{(x,y) \in \IR^2\ |\ x+y=1 \}\to\IR [/mm] $
>
> (x,y) -> [mm]\bruch{1}{1-x-y}[/mm]
> die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt (0,0).
> Ich habe mir
> zunächst mal überlegt, wie die vermutete Taylorformel
> aussieht, also f((0,0) + a) = 1 + [mm]\summe_{|\alpha |=k+1}^{}.[/mm]
> Ich will das ganze nun per Induktion beweisen (weil das
> muss man ja, da die Funktion in (0,0) nicht stetig partiell
> diffbar ist.
Das ist sie aber sehr wohl !
Du kannst diese Taylorformel auch erhalten, indem
du zuerst z:=x+y setzt und den Term
[mm] \bruch{1}{1-z}
[/mm]
als Reihe schreibst. Stichwort: unendliche geometrische Reihe
LG Al-Chwarizmi
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Hey,
danke schonmal. Und was beweise ich dann mit Induktion?
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Guten Morgen,
Taylorreihe hat doch meiner Ansicht nach nicht vorwiegend etwas mit Induktion zu tun.
Wie kann man den einen Term [mm] $\bruch{1}{1-z}$ [/mm] als Reihe darstellen?
[mm]\bruch{1}{1-z} = \summe_{k=1}^{\infty} z^k[/mm] , falls $|z|<1$. (Stichwort geometrische Reihe viel ja schon)
Es geht bestimmt auch noch ganz umständlich, indem du allgemeine Ableitungen bestimmst (
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = \bruch{1}{(1-x-y)^2} = \bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
), aber das ist echt nich schön^^
lg Kai
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Unser Prof hatte uns halt als Hinweis gegeben, dass wir hingehen sollten, und die vermutete Taylorreihe hinschreiben und diese dann mit Induktion beweisen sollen... das war halt der Punkt, weswegen ich mir überlegt habe, wie das mit Induktion gehen könnt. Und naja, wir wissen aber nicht, dass der Betrag von z kleiner als 1 ist, oder? weil da steht ja, dass x und y überall in R hoch 2 sein können.
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> Unser Prof hatte uns halt als Hinweis gegeben, dass wir
> hingehen sollten, und die vermutete Taylorreihe
> hinschreiben und diese dann mit Induktion beweisen
> sollen... das war halt der Punkt, weswegen ich mir überlegt
> habe, wie das mit Induktion gehen könnt. Und naja, wir
> wissen aber nicht, dass der Betrag von z kleiner als 1 ist,
> oder? weil da steht ja, dass x und y überall in R hoch 2
> sein können.
Zwar ist die Funktion f (fast) auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] definiert
(ausser in den Punkten, wo der Nenner verschwindet).
Die Taylorreihe approximiert f aber nur in einem
kleinen Bereich richtig, im vorliegenden Fall für alle
(x,y) mit |x+y|<1.
Wie der Induktionsbeweis genau gemeint ist, ist mir
auch nicht klar. Aber man kann natürlich für die
(Teil-)Summenformel der geometrischen Reihe, die
wir benützen, einen Beweis geben.
Das Hinschreiben der Taylorreihe ist tatsächlich
ein Kinderspiel, wenn man z:=(x+y) in die Reihen-
darstellung für [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] einsetzt.
LG Al-Chw.
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^wenn man das einsetzt, bleibt ja nur noch 1 + restglied stehen oder?,
also f(0+a) = 1 + [mm] \summe_{| \alpha|=k+1}^{} D^{ \alpha}\summe_{n=1}^{\infty} z^{k} [/mm] / [mm] \alpha! [/mm] mal [mm] a^{\alpha}.
[/mm]
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> ^wenn man das einsetzt, bleibt ja nur noch 1 + restglied
> stehen oder?,
> also f(0+a) = 1 + [mm]\summe_{| \alpha|=k+1}^{} D^{ \alpha}\summe_{n=1}^{\infty} z^{k}[/mm]
> / [mm]\alpha![/mm] mal [mm]a^{\alpha}.[/mm]
Hallo,
das ist jetzt aber wohl keine Frage über irgendwas,
was ich vorher geschrieben habe, oder ??
Al-Chw.
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Naja, ich wollte mir dieser Frage zeigen, wie ich es hinschreiben würde. Aber scheinbar stimmt das nicht ganz?
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Die Aufgabe lautete doch eigentlich einfach,
die Taylorreihe aufzustellen. Nichts von
Restglied etc.
Und für diese Aufgabe braucht man meiner
Ansicht nach keinen Induktionsbeweis und
sogar nicht einmal Ableitungen, denn man
kann den gegebenen Ausdruck rein alge-
braisch zu einer Potenzreihe in x und y um-
formen. Die Reihe, welche man auf diesem
Weg bekommt, muss identisch mit der
Taylorreihe sein. Und so geht es:
[mm] $\bruch{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\,.......$ [/mm] für $\ |z|<1$
[mm] $\bruch{1}{1-(x+y)}=1+(x+y)+(x+y)^2+(x+y)^3+\,.......$ [/mm] für $\ |x+y|<1$
$\ [mm] =1+x+y+x^2+2xy+y^2+x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+x^4+4x^3y+6x^2y^2+\,.......$
[/mm]
Natürlich weiß ich nicht, ob von euch irgend
ein spezieller Lösungsweg erwartet wird.
Dieser Lösungsweg hier ist aber wohl der
denkbar einfachste.
Lieben Gruß Al-Chw.
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> Berechnen Sie für die Funktion $\ f:\ \ [mm] \IR^2 [/mm] \ [mm] \backslash \{(x,y) \in \IR^2\ |\ x+y=1 \} \to\IR$ [/mm]
> $\ (x,y) [mm] \mapsto\bruch{1}{1-x-y}$ [/mm]
> die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt (0,0).
> Hallo,
>
> ich hätte eine kleine Frage zu dieser Aufgabe. Ich habe mir
> zunächst mal überlegt, wie die vermutete Taylorformel
> aussieht.
> Ich will das ganze nun per Induktion beweisen
Hallo Miss Pocahontas,
da bin ich nochmal. Nachdem ich inzwischen eine
ganz analoge Frage im Fall mit einer Variablen
beantwortet und dort vorgeschlagen habe, die
Formeln für die Ableitungen mit vollständiger
Induktion zu beweisen, ist mir sofort ein Licht
aufgegangen, dass du wohl genau dasselbe tun
könntest, aber eben mit zwei Variablen. Das ergibt
dann allerdings auch einen Induktionsbeweis mit
zwei Induktionsvariablen.
Wir haben die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{1}{1-x-y}
[/mm]
Bezeichnen wir die partielle Ableitung
[mm] \bruch{\partial^m}{\partial{x}^m}\,\bruch{\partial^n}{\partial{y}^n}\,f(x,y)
[/mm]
mit [mm] f_{m,n}(x,y) [/mm] und die Funktion selber als ihre
nullte Ableitung nach beiden Variablen:
[mm] f_{0,0}(x,y):=f(x,y)
[/mm]
so würde nun der doppelte Induktionsbeweis bei
[mm] f_{0,0} [/mm] verankert. In zwei Teilbeweisen (die aber
ganz analog aussehen werden) muss dann gezeigt
werden:
1.) Wenn die behauptete Formel für [mm] f_{m,n} [/mm] gilt, so
gilt sie auch in entsprechender Weise für [mm] f_{m+1,n}
[/mm]
2.) Wenn die behauptete Formel für [mm] f_{m,n} [/mm] gilt, so
gilt sie auch in entsprechender Weise für [mm] f_{m,n+1}
[/mm]
Um diesen Weg zu gehen, müsste man nun zuerst
einmal eine für alle m und n gültige Formel für
[mm] f_{m,n}(x,y) [/mm] hinschreiben können. Dazu bildet man
einmal die ersten paar Ableitungen und schaut,
welches allgemeine Muster dahinter stecken könnte.
LG Al-Chwarizmi
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