Taylor Approximation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 15.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
Hallo Miteinander,
wir hatten heut das Thema Taylor Approximation der 2.Ordnung. Der Prof hat dazu folgende Formel aufgeschrieben:
[mm] t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})
[/mm]
Zu dieser Formel hat er dann folgendes Beispiel aufgeschrieben:
[mm] f(x,y)=\wurzel{xy} [/mm] mit [mm] (x_{0},y_{0})=(1,1)
[/mm]
[mm] t(x,y)=1+(0,5;0,5)\vektor{x-1 \\ y-1}+\bruch{1}{2}(x-1;y-1)\pmat{ -0,25 & 0,25 \\ 0,25 & -0,25 }\vektor{x-1 \\ y-1}
[/mm]
= [mm] 0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-1,y-1)\vektor{1-x+y-1 \\ x-1-y+1}
[/mm]
= [mm] 0,5(x+y)+\bruch{1}{8}*\{(x-1)(y-x)+(y-1)(x-1)\}
[/mm]
= [mm] 0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-y)(y-1-x+1)
[/mm]
= [mm] 0,5(x+y)-\bruch{1}{8}(x-y)^{2}
[/mm]
Nun versuch ich die Schritte nachzuvollziehen. Ich versteh leider schon beim ersten Schritt nicht, wie er auf die einzelnen Werte gekommen ist.
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß, Steffy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 15.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Miteinander,
>
> wir hatten heut das Thema Taylor Approximation der
> 2.Ordnung. Der Prof hat dazu folgende Formel
> aufgeschrieben:
>
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
>
> Zu dieser Formel hat er dann folgendes Beispiel
> aufgeschrieben:
>
> [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] mit [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm]
>
> [mm]t(x,y)=1+(0,5;0,5)\vektor{x-1 \\ y-1}+\bruch{1}{2}(x-1;y-1)\pmat{ -0,25 & 0,25 \\ 0,25 & -0,25 }\vektor{x-1 \\ y-1}[/mm]
>
>
> = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-1,y-1)\vektor{1-x+y-1 \\ x-1-y+1}[/mm]
>
> = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}*\{(x-1)(y-x)+(y-1)(x-1)\}[/mm]
>
> = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-y)(y-1-x+1)[/mm]
>
> = [mm]0,5(x+y)-\bruch{1}{8}(x-y)^{2}[/mm]
>
>
> Nun versuch ich die Schritte nachzuvollziehen. Ich versteh
> leider schon beim ersten Schritt nicht, wie er auf die
> einzelnen Werte gekommen ist.
Schreibe dir die Taylorformel aus:
[mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
Dabei ist: [mm] f_{x}(x_{0}) [/mm] der Vektor der partiellen Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
[mm] \vektor {\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)} [/mm]
und [mm]D^{2}f(x_{0})[/mm] die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen von f, also
[mm] \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} [/mm].
Nun schreib dir die partiellen Ableitungen der Funktion an der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] hin, zum Beispiel
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \bruch{\wurzel{y_0}}{2\wurzel{x_0}} = \bruch{1}{2} [/mm],
ebenso für die partielle Ableitung nach y.
Für die zweiten Ableitungen gilt:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{y_0}}{4\wurzel{x_0}^3} = -\bruch{1}4 [/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{x_0}}{4\wurzel{y_0}^3} = -\bruch{1}4 [/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) = \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) = \bruch{1}{4\wurzel{x_0y_0}} = \bruch{1}4 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
> Hallo Steffy!
>
>
>
> > Hallo Miteinander,
> >
> > wir hatten heut das Thema Taylor Approximation der
> > 2.Ordnung. Der Prof hat dazu folgende Formel
> > aufgeschrieben:
> >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> >
> > Zu dieser Formel hat er dann folgendes Beispiel
> > aufgeschrieben:
> >
> > [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] mit [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm]
> >
> > [mm]t(x,y)=1+(0,5;0,5)\vektor{x-1 \\ y-1}+\bruch{1}{2}(x-1;y-1)\pmat{ -0,25 & 0,25 \\ 0,25 & -0,25 }\vektor{x-1 \\ y-1}[/mm]
>
> >
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-1,y-1)\vektor{1-x+y-1 \\ x-1-y+1}[/mm]
>
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}*\{(x-1)(y-x)+(y-1)(x-1)\}[/mm]
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-y)(y-1-x+1)[/mm]
> >
> > = [mm]0,5(x+y)-\bruch{1}{8}(x-y)^{2}[/mm]
> >
> >
> > Nun versuch ich die Schritte nachzuvollziehen. Ich versteh
> > leider schon beim ersten Schritt nicht, wie er auf die
> > einzelnen Werte gekommen ist.
>
> Schreibe dir die Taylorformel aus:
>
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
>
> Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
Den Teil versteh ich irgendwie nicht. Könntest du mir da bitte helfen?
> [mm]\vektor {\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}[/mm]
>
> und [mm]D^{2}f(x_{0})[/mm] die Matrix der zweiten partiellen
> Ableitungen von f, also
>
> [mm]\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} [/mm].
>
>
> Nun schreib dir die partiellen Ableitungen der Funktion an
> der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] hin, zum Beispiel
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \bruch{\wurzel{y_0}}{2\wurzel{x_0}} = \bruch{1}{2} [/mm],
>
> ebenso für die partielle Ableitung nach y.
>
> Für die zweiten Ableitungen gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{y_0}}{4\wurzel{x_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{x_0}}{4\wurzel{y_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) = \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) = \bruch{1}{4\wurzel{x_0y_0}} = \bruch{1}4[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo,
ich hätte da eine Frage zu der Matrix der 2.Ableitung.
Ich dachte, die partiellen Ableitungen werden wie folgt gebildet.
[mm] f(x,y)=(xy)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*x
[/mm]
Gruß, Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Fr 18.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> > Schreibe dir die Taylorformel aus:
> >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> >
> > Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> > Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
>
> Den Teil versteh ich irgendwie nicht. Könntest du mir da
> bitte helfen?
Kannst du genauer sagen, wo es hängt? An der Formel allgemein?
In einer Dimension hast du doch
[mm] t(x) = f(x) + (x-x_0)f'(x_0) + \bruch{1}{2} (x-x_0)^2 f''(x_0) [/mm]
In zwei Dimensionen werden aus den einzelnen Faktoren Vektoren:
[mm] \begin{array}{lcl}
x-x_0 &\longrightarrow &\vektor {x-x_0\\y-y_0}\\[5mm]
f' &\longrightarrow & \vektor {\bruch{\partial f}{\partial x}\\\bruch{\partial f}{\partial y}}\\[5mm]
f'' & \longrightarrow & \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
\end{array}[/mm]
> > Nun schreib dir die partiellen Ableitungen der Funktion an
> > der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] hin, zum Beispiel
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \bruch{\wurzel{y_0}}{2\wurzel{x_0}} = \bruch{1}{2} [/mm],
>
(> >
> > ebenso für die partielle Ableitung nach y.
> >
> > Für die zweiten Ableitungen gilt:
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{y_0}}{4\wurzel{x_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{x_0}}{4\wurzel{y_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) = \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) = \bruch{1}{4\wurzel{x_0y_0}} = \bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Hallo,
>
> ich hätte da eine Frage zu der Matrix der 2.Ableitung.
>
> Ich dachte, die partiellen Ableitungen werden wie folgt
> gebildet.
>
> [mm]f(x,y)=(xy)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x[/mm]
Richtig. Wenn du die Terme zusammenfasst, kommst du auf die Ausdrücke, die ich hingeschrieben habe.
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*y[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
Hier hast du dich vertan:
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \bruch{\partial}{\partial x} \left(\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x + \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}+ \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \bruch{1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*x[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
Hallo,
> Hallo Steffy!
>
> > > Schreibe dir die Taylorformel aus:
> > >
> > >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> > >
> > > Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> > > Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
> >
> > Den Teil versteh ich irgendwie nicht. Könntest du mir da
> > bitte helfen?
>
> Kannst du genauer sagen, wo es hängt? An der Formel
> allgemein?
Ich versteh nicht so ganz, welche Werte wo eingesetzt werden und wie man dann zusammenfasst.
>
> In einer Dimension hast du doch
>
> [mm]t(x) = f(x) + (x-x_0)f'(x_0) + \bruch{1}{2} (x-x_0)^2 f''(x_0)[/mm]
>
> In zwei Dimensionen werden aus den einzelnen Faktoren
> Vektoren:
>
> [mm]\begin{array}{lcl}
x-x_0 &\longrightarrow &\vektor {x-x_0\\y-y_0}\\[5mm]
f' &\longrightarrow & \vektor {\bruch{\partial f}{\partial x}\\\bruch{\partial f}{\partial y}}\\[5mm]
f'' & \longrightarrow & \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
\end{array}[/mm]
>
>
> > > Nun schreib dir die partiellen Ableitungen der Funktion an
> > > der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] hin, zum Beispiel
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \bruch{\wurzel{y_0}}{2\wurzel{x_0}} = \bruch{1}{2} [/mm],
>
> >
> (> >
> > > ebenso für die partielle Ableitung nach y.
> > >
> > > Für die zweiten Ableitungen gilt:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{y_0}}{4\wurzel{x_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{x_0}}{4\wurzel{y_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) = \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) = \bruch{1}{4\wurzel{x_0y_0}} = \bruch{1}4[/mm]
>
> >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hätte da eine Frage zu der Matrix der 2.Ableitung.
> >
> > Ich dachte, die partiellen Ableitungen werden wie folgt
> > gebildet.
> >
> > [mm]f(x,y)=(xy)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x[/mm]
>
> Richtig. Wenn du die Terme zusammenfasst, kommst du auf die
> Ausdrücke, die ich hingeschrieben habe.
>
> > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*y[/mm]
>
>
>
> > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
>
> Hier hast du dich vertan:
>
> [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \bruch{\partial}{\partial x} \left(\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x + \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}+ \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \bruch{1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
>
> > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*x[/mm]
>
>
>
> Viele Grüße
> Rainer
Im Fall [mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} [/mm] dachte ich, dass man [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm],
nach y ableitet und nicht dass man [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] addiert.
Ist das falsch, wie ich das gedacht hab??
Gruß, Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 19.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> > > > Schreibe dir die Taylorformel aus:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> > > >
> > > > Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> > > > Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
> > >
> > > Den Teil versteh ich irgendwie nicht. Könntest du mir da
> > > bitte helfen?
> >
> > Kannst du genauer sagen, wo es hängt? An der Formel
> > allgemein?
>
> Ich versteh nicht so ganz, welche Werte wo eingesetzt
> werden und wie man dann zusammenfasst.
Fang mit der Taylorformel in [mm]\IR[/mm] an:
[mm]t(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \bruch{1}{2} (x-x_0)^2 f''(x_0)[/mm]
Da fängst du mit dem Funktionswert an der Stelle [mm]x_0[/mm] an und nimmst in jedem Term die nächtshöhere Ableitung von f, immer an der Stelle [mm]x_0[/mm], und immer mit einer Potenz von [mm](x-x_0)[/mm] malgenommen.
So, jetzt das Ganze im [mm]\IR^2[/mm]. Ich schreibe [mm]\mathbf{x}[/mm] für die Vektoren im [mm]\IR^2[/mm] und x,y für die Komponenten:
[mm] t(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) [/mm]
[mm] + (x- x_0)*\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) + (y-y_0)*\bruch{\partial f}{\partial y}(\mathbf{x}_0) [/mm]
[mm] + \bruch{1}{2} (x- x_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(\mathbf{x}_0)*(x-x_0)
+ \bruch{1}{2} (x- x_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\mathbf{x}_0)*(y-y_0)
+ \bruch{1}{2} (y- y_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\mathbf{x}_0)*(x-x_0)
+ \bruch{1}{2} (y- y_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(\mathbf{x}_0)*(y-y_0)[/mm]
Die zweite Zeile kannst du in Vektorschreibweise zusammenfassen:
[mm] (x- x_0)*\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) + (y-y_0)*\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial y}(\mathbf{x}_0) = (x- x_0,y-y_0) * \vektor{ \displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) \\[3mm] \displaystyle\bruch{\partial f}{\partial y} (\mathbf{x}_0)}[/mm]
und die dritte in Matrixschreibweise:
[mm] \bruch{1}{2} (x- x_0,y-y_0) *
\begin{pmatrix} f_{xx} (\mathbf{x}_0) & f_{xy}(\mathbf{x}_0) \\ f_{yx} (\mathbf{x}_0) & f_{yy} (\mathbf{x}_0) \end{pmatrix}
* \vektor{x-x_0\\y-y_0}[/mm]
[mm]D^2 f(\mathbf{x}_0[/mm] ist diese Matrix der zweiten partiellen Ableitungen.
War es das, was dir Schwierigkeiten bereitet?
> > > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
>
> >
> > Hier hast du dich vertan:
> >
> > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \bruch{\partial}{\partial x} \left(\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x + \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}+ \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \bruch{1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> >
> >
> > > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*x[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Im Fall [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}[/mm]
> dachte ich, dass man [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm],
>
> nach y ableitet
Das habe ich getan, nach der Produktregel. Der erste Summand ist [mm]\bruch{\partial (\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}})}{\partial y}*y=-\bruch{1}{4} (xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*y[/mm], der zweite [mm] \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}} * \bruch{\partial y}{\partial y}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
> Hallo Steffy!
>
> > > > > Schreibe dir die Taylorformel aus:
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> > > > >
> > > > > Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> > > > > Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
> > > >
> > > > Den Teil versteh ich irgendwie nicht. Könntest du mir da
> > > > bitte helfen?
> > >
> > > Kannst du genauer sagen, wo es hängt? An der Formel
> > > allgemein?
> >
> > Ich versteh nicht so ganz, welche Werte wo eingesetzt
> > werden und wie man dann zusammenfasst.
>
> Fang mit der Taylorformel in [mm]\IR[/mm] an:
>
> [mm]t(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \bruch{1}{2} (x-x_0)^2 f''(x_0)[/mm]
>
> Da fängst du mit dem Funktionswert an der Stelle [mm]x_0[/mm] an und
> nimmst in jedem Term die nächtshöhere Ableitung von f,
> immer an der Stelle [mm]x_0[/mm], und immer mit einer Potenz von
> [mm](x-x_0)[/mm] malgenommen.
>
> So, jetzt das Ganze im [mm]\IR^2[/mm]. Ich schreibe [mm]\mathbf{x}[/mm] für
> die Vektoren im [mm]\IR^2[/mm] und x,y für die Komponenten:
>
> [mm]t(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)[/mm]
> [mm]+ (x- x_0)*\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) + (y-y_0)*\bruch{\partial f}{\partial y}(\mathbf{x}_0)[/mm]
>
> [mm]+ \bruch{1}{2} (x- x_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(\mathbf{x}_0)*(x-x_0)
+ \bruch{1}{2} (x- x_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\mathbf{x}_0)*(y-y_0)
+ \bruch{1}{2} (y- y_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\mathbf{x}_0)*(x-x_0)
+ \bruch{1}{2} (y- y_0)*\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(\mathbf{x}_0)*(y-y_0)[/mm]
>
> Die zweite Zeile kannst du in Vektorschreibweise
> zusammenfassen:
>
> [mm](x- x_0)*\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) + (y-y_0)*\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial y}(\mathbf{x}_0) = (x- x_0,y-y_0) * \vektor{ \displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}(\mathbf{x}_0) \\[3mm] \displaystyle\bruch{\partial f}{\partial y} (\mathbf{x}_0)}[/mm]
>
> und die dritte in Matrixschreibweise:
>
> [mm]\bruch{1}{2} (x- x_0,y-y_0) *
\begin{pmatrix} f_{xx} (\mathbf{x}_0) & f_{xy}(\mathbf{x}_0) \\ f_{yx} (\mathbf{x}_0) & f_{yy} (\mathbf{x}_0) \end{pmatrix}
* \vektor{x-x_0\\y-y_0}[/mm]
>
> [mm]D^2 f(\mathbf{x}_0[/mm] ist diese Matrix der zweiten partiellen
> Ableitungen.
>
> War es das, was dir Schwierigkeiten bereitet?
>
> > > > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hier hast du dich vertan:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \bruch{\partial}{\partial x} \left(\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*x\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*y*x + \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \left(\bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}+ \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}\right) = \bruch{1}{4}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > > [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y \partial y}= \bruch{-1}{4}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*x[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> >
> >
> > Im Fall [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}[/mm]
> > dachte ich, dass man [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm],
>
> >
> > nach y ableitet
>
> Das habe ich getan, nach der Produktregel. Der erste
> Summand ist [mm]\bruch{\partial (\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}})}{\partial y}*y=-\bruch{1}{4} (xy)^{\bruch{-3}{2}}*x*y[/mm],
> der zweite [mm]\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}} * \bruch{\partial y}{\partial y}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo,
ist es denn auch mathematisch richtig, wenn man [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] addiert, anstatt die Produktregel zu verwenden?
Mit der Produktregel sieht es irgendwie komplizierter aus.
Gruß, Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Sa 19.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> ist es denn auch mathematisch richtig, wenn man
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
> addiert, anstatt die Produktregel zu verwenden?
Nein, um die Produktregel kommst du nicht herum. Es ist Zufall, dass hier das gleiche Ergebnis herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
> Hallo Steffy!
>
> > ist es denn auch mathematisch richtig, wenn man
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
> > addiert, anstatt die Produktregel zu verwenden?
>
> Nein, um die Produktregel kommst du nicht herum. Es ist
> Zufall, dass hier das gleiche Ergebnis herauskommt.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo,
könntest du dir vielleicht ansehen, ob ich die Produktregel richtig anwende.
Also ich möchte erhalten: [mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial y}
[/mm]
Dafür muss ich [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] nach y ableiten.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y
[/mm]
Dafür wende ich nun die Produktregel an.Bestimme nun u und v.
[mm] u=\bruch{1}{2}*y
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v=(xy)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x
[/mm]
[mm] u'*v=\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Gruß, Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 19.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> könntest du dir vielleicht ansehen, ob ich die Produktregel
> richtig anwende.
>
> Also ich möchte erhalten: [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}[/mm]
>
> Dafür muss ich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] nach y
> ableiten.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
> Dafür wende ich nun die Produktregel an.Bestimme nun u und
> v.
>
> [mm]u=\bruch{1}{2}*y[/mm]
>
> [mm]u'=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]v=(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
Hier hast du dich verschrieben, es ist
[mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> [mm]u'*v=\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
und dann auch hier:
[mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
[mm] = \bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
> Hallo Steffy!
>
> > könntest du dir vielleicht ansehen, ob ich die Produktregel
> > richtig anwende.
> >
> > Also ich möchte erhalten: [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}[/mm]
>
> >
> > Dafür muss ich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] nach y
> > ableiten.
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
> >
> > Dafür wende ich nun die Produktregel an.Bestimme nun u und
> > v.
> >
> > [mm]u=\bruch{1}{2}*y[/mm]
> >
> > [mm]u'=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]v=(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> >
> > [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
>
> Hier hast du dich verschrieben, es ist
>
> [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
>
> > [mm]u'*v=\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> >
> > [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
>
> und dann auch hier:
>
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> [mm]= \bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo,
dann muss ich doch noch zum Schluss u'*v+v'*u rechnen und erhalte dann
[mm] \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}+\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
Aber dann erhalte ich doch nicht 1/4 wie in der Matrix steht. Ich kann doch noch 1/2 erweitern und mit 1/4 addieren und erhalte 3/4. Hab ich was falsch gemacht?
Gruß, Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 19.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> > Hallo Steffy!
> >
> > > könntest du dir vielleicht ansehen, ob ich die Produktregel
> > > richtig anwende.
> > >
> > > Also ich möchte erhalten: [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial y}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dafür muss ich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] nach y
> > > ableiten.
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dafür wende ich nun die Produktregel an.Bestimme nun u und
> > > v.
> > >
> > > [mm]u=\bruch{1}{2}*y[/mm]
> > >
> > > [mm]u'=\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]v=(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> > >
> > > [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
> >
> > Hier hast du dich verschrieben, es ist
> >
> > [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> >
> > > [mm]u'*v=\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> > >
> > > [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
> >
> > und dann auch hier:
> >
> >
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> > [mm]= \bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
>
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Hallo,
>
> dann muss ich doch noch zum Schluss u'*v+v'*u rechnen und
> erhalte dann
>
> [mm]\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}+\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> Aber dann erhalte ich doch nicht 1/4 wie in der Matrix
> steht. Ich kann doch noch 1/2 erweitern und mit 1/4
> addieren und erhalte 3/4. Hab ich was falsch gemacht?
Nur geglaubt, was ich geschrieben habe... 
Ich habe ein Minuszeichen verschlampt:
[mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x[/mm]
[mm] = \red{-}\bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \red{-}\bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \red{-}\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
Dann steht da
[mm]\red{-}\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}+\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
In meinen früheren Antworten steht es richtig.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Steffy86 |
> Hallo Steffy!
>
> > > Hallo Steffy!
> > >
> > > > könntest du dir vielleicht ansehen, ob ich die Produktregel
> > > > richtig anwende.
> > > >
> > > > Also ich möchte erhalten: [mm]\bruch{\partial f}{\partial x\partial y}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Dafür muss ich [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] nach y
> > > > ableiten.
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}(xy)^{\bruch{-1}{2}}*y[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Dafür wende ich nun die Produktregel an.Bestimme nun u und
> > > > v.
> > > >
> > > > [mm]u=\bruch{1}{2}*y[/mm]
> > > >
> > > > [mm]u'=\bruch{1}{2}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]v=(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
> > >
> > > Hier hast du dich verschrieben, es ist
> > >
> > > [mm]v'={\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> > >
> > > > [mm]u'*v=\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-2}{3}}*x[/mm]
> > >
> > > und dann auch hier:
> > >
> > >
> >
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\red{\bruch{-3}{2}}}*x[/mm]
> > > [mm]= \bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > dann muss ich doch noch zum Schluss u'*v+v'*u rechnen und
> > erhalte dann
> >
> > [mm]\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}+\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> >
> > Aber dann erhalte ich doch nicht 1/4 wie in der Matrix
> > steht. Ich kann doch noch 1/2 erweitern und mit 1/4
> > addieren und erhalte 3/4. Hab ich was falsch gemacht?
>
> Nur geglaubt, was ich geschrieben habe...
>
> Ich habe ein Minuszeichen verschlampt:
>
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}*y*{\bruch{-1}{2}}(xy)^{\bruch{-3}{2}}*x[/mm]
> [mm]= \red{-}\bruch{1}{4} y* y^{\bruch{-3}{2}}*x^{\bruch{-3}{2}}*x = \red{-}\bruch{1}{4}y^{\bruch{-1}{2}}*x^{\bruch{-1}{2}} = \red{-}\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
>
> Dann steht da
>
> [mm]\red{-}\bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}+\bruch{1}{2}*(xy)^{\bruch{-1}{2}} = \bruch{1}{4}(xy)^{-1/2}[/mm]
>
> In meinen früheren Antworten steht es richtig.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo,
danke für deine Hilfe.
Könntest du bitte vielleicht noch folgendes ansehen. Bin mir noch unsicher:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x \partial x}
[/mm]
Ich muss hier nun [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}y(xy)^{-0,5} [/mm] nach x ableiten.
Dabei wende ich die Produktregel an.
[mm] u=\bruch{1}{2}y
[/mm]
u'= [mm] \bruch{1}{2}y
[/mm]
[mm] v=(xy)^{-0,5}
[/mm]
[mm] v'=-0,5(xy)^{-1,5}*y
[/mm]
[mm] u'*v=\bruch{1}{2}y*(xy)^{-0,5}
[/mm]
[mm] u*v'=\bruch{1}{2}y*-0,5(xy)^{-1,5}*y
[/mm]
DANKE.
Steffy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 20.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffy!
> Könntest du bitte vielleicht noch folgendes ansehen. Bin
> mir noch unsicher:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x \partial x}[/mm]
>
> Ich muss hier nun [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{2}y(xy)^{-0,5}[/mm]
> nach x ableiten.
> Dabei wende ich die Produktregel an.
>
> [mm]u=\bruch{1}{2}y[/mm]
>
> u'= [mm]\bruch{1}{2}y[/mm]
Das ist nicht richtig. u hängt nicht mehr von x ab, deswegen ist die (partielle) Ableitung nach x:
[mm] u'=0[/mm]
> [mm]v=(xy)^{-0,5}[/mm]
>
> [mm]v'=-0,5(xy)^{-1,5}*y[/mm]
>
> [mm]u'*v=\bruch{1}{2}y*(xy)^{-0,5}[/mm]
Das fällt dann weg, weil u' gleich 0 ist.
> [mm]u*v'=\bruch{1}{2}y*-0,5(xy)^{-1,5}*y[/mm]
Das ist richtig, lässt sich aber noch ein bischen vereinfachen:
[mm] \bruch{1}{2}y*(-0,5)(xy)^{-1,5}*y = -\bruch{1}{4} *y *x^{-1,5} *y^{-1,5} *y = -\bruch{1}{4} y^{0,5}*x^{-1,5} = -\bruch{1}{4} \bruch{\wurzel{y}}{\wurzel{x}^3} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Delia00 |
> Hallo Steffy!
>
>
>
> > Hallo Miteinander,
> >
> > wir hatten heut das Thema Taylor Approximation der
> > 2.Ordnung. Der Prof hat dazu folgende Formel
> > aufgeschrieben:
> >
> >
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
> >
> > Zu dieser Formel hat er dann folgendes Beispiel
> > aufgeschrieben:
> >
> > [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] mit [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm]
> >
> > [mm]t(x,y)=1+(0,5;0,5)\vektor{x-1 \\ y-1}+\bruch{1}{2}(x-1;y-1)\pmat{ -0,25 & 0,25 \\ 0,25 & -0,25 }\vektor{x-1 \\ y-1}[/mm]
>
> >
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-1,y-1)\vektor{1-x+y-1 \\ x-1-y+1}[/mm]
>
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}*\{(x-1)(y-x)+(y-1)(x-1)\}[/mm]
> >
> > = [mm]0,5(x+y)+\bruch{1}{8}(x-y)(y-1-x+1)[/mm]
> >
> > = [mm]0,5(x+y)-\bruch{1}{8}(x-y)^{2}[/mm]
> >
> >
> > Nun versuch ich die Schritte nachzuvollziehen. Ich versteh
> > leider schon beim ersten Schritt nicht, wie er auf die
> > einzelnen Werte gekommen ist.
>
Hallo Leuts,
wir haben auch mit diesem Thema angefangen und ich versuche gerade eure Aufgabe nachzuvollziehen. Ich versuch mal aufzuschreiben, wie die geg. Werte in die Formel eingesetzt wurden.
[mm] f(x,y)=\wurzel{xy} [/mm] mit [mm] (x_{0},y_{0})=(1,1)
[/mm]
Also für [mm] f(x_{0}):
[/mm]
[mm] f(x_{0})=\wurzel{x_{0}y_{0}}=\wurzel{1*1}=1
[/mm]
Für die partiellen Ableitungen erhalte ich:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x
[/mm]
Ist dies soweit richtig?
Den Teil mit der Matrix zur 2.Abl. hab ich verstanden. Weiß ich leider nicht verstehe, ist, wie ich meine Werte für [mm] f_{x}(x_{0}) [/mm] einsetze.
Würde es vielleicht so aussehen:
zunächst [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y (x_{0},y_{0})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y [/mm] (1,1)
= [mm] 1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y [/mm] + [mm] 1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y
[/mm]
Und das selbe dann mit [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x (x_{0},y_{0})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x [/mm] (1,1)
= [mm] 1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x [/mm] + [mm] 1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x
[/mm]
Aber dann erhalte ich nicht (0,5;0,5)
Könnte mir da bitte einen Tipp geben?
Wie würde eigentlich der Fall aussehen, wenn ich die Funktion an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0})=(0;1) [/mm] untersuchen müsste?
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Vielen lieben Dank.
Delia
> Schreibe dir die Taylorformel aus:
>
> [mm]t(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})^{T}f_{x}(x_{0})+\bruch{1}{2}(x-x_{0})^{T}D^{2}f(x_{0})(x-x_{0})[/mm]
>
> Dabei ist: [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] der Vektor der partiellen
> Ableitungen von f, also für die gegebene Funktion
>
> [mm]\vektor {\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\\\bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}[/mm]
>
> und [mm]D^{2}f(x_{0})[/mm] die Matrix der zweiten partiellen
> Ableitungen von f, also
>
> [mm]\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} [/mm].
>
>
> Nun schreib dir die partiellen Ableitungen der Funktion an
> der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] hin, zum Beispiel
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \bruch{\wurzel{y_0}}{2\wurzel{x_0}} = \bruch{1}{2} [/mm],
>
> ebenso für die partielle Ableitung nach y.
>
> Für die zweiten Ableitungen gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{y_0}}{4\wurzel{x_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) = -\bruch{\wurzel{x_0}}{4\wurzel{y_0}^3} = -\bruch{1}4[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0,y_0) = \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0) = \bruch{1}{4\wurzel{x_0y_0}} = \bruch{1}4[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 27.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Delia!
> wir haben auch mit diesem Thema angefangen und ich versuche
> gerade eure Aufgabe nachzuvollziehen. Ich versuch mal
> aufzuschreiben, wie die geg. Werte in die Formel eingesetzt
> wurden.
>
>
> [mm]f(x,y)=\wurzel{xy}[/mm] mit [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm]
>
> Also für [mm]f(x_{0}):[/mm]
>
> [mm]f(x_{0})=\wurzel{x_{0}y_{0}}=\wurzel{1*1}=1[/mm]
>
> Für die partiellen Ableitungen erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x[/mm]
>
>
> Ist dies soweit richtig?
Korrekt. Allerdings kannst du noch kürzen, zum Beispiel [mm] \bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*x= \bruch{1}{2}(x/y)^{0,5}[/mm].
> Den Teil mit der Matrix zur 2.Abl. hab ich verstanden. Weiß
> ich leider nicht verstehe, ist, wie ich meine Werte für
> [mm]f_{x}(x_{0})[/mm] einsetze.
>
> Würde es vielleicht so aussehen:
>
> zunächst [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y (x_{0},y_{0})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y[/mm] (1,1)
>
> = [mm]1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y[/mm] +
> [mm]1*\bruch{1}{2}*(xy)^{-0,5}*y[/mm]
Nein. Einfach [mm]x_0[/mm] für x und [mm]y_0[/mm] für y einsetzen:
[mm]\bruch{1}{2}*(x_0y_0)^{-0,5}*y_0 = \bruch{1}{2}*1^{-0,5}*1 = \bruch{1}{2}[/mm]
> Wie würde eigentlich der Fall aussehen, wenn ich die
> Funktion an der Stelle [mm](x_{0},y_{0})=(0;1)[/mm] untersuchen
> müsste?
Die partiellen Ableitungen als Funktion von [mm](x,y)[/mm] ändern sich nicht, nur dass du für x überall 0 einsetzen musst. Bei [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] müsstest du dazu durch 0 teilen, also existiert diese partielle Ableitung an der Stelle (0,1) nicht (die andere schon).
Viele Grüße
Rainer
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