Taylor im Mehrdimensionalen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 14.09.2010 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 1 für
[mm] $f(x,y)=x(x^2-4)(y^2-1)$
[/mm]
mit Entwicklungspunkt $(1,1)$ |
Hallo Leute,
kurze Frage zu Taylor-Polynomen im Mehrdimensionalen...also im Eindimensionalen ist es doch so, dass wenn ich eine Funktion (bspw. [mm] $g(x)=7x^2+1$) [/mm] durch ein Taylor-Polynom annäheren möchte, ich wieder die Funktion an sich herausbekomme, weil ich ein Polynom durch ein Polynom approximiere...Ist das im Mehrdimensionalen Fall genauso? Also wenn ich die gegebene Funktion $f(x,y)$ durch ein Taylor-Polynom 2. Grades annähern würde, würde ich wieder das gleiche Polynom erhalten?
2. Frage (die eigentlich wichtige): Wenn ich für obige Funktion das Taylorpolynom 1. Grades berchne erhalte ich $-6y$, die Musterlösung sagt aber $-6(y-1)$. Wir haben da einfach die Formel
[mm] $f(1,1)+f_x(1,1)*x+f_y(1,1)*y$ [/mm]
wobei [mm] $f_x,f_y$ [/mm] die partiellen Ableitungen nach $x$ bzw. $y$ sind. Was läuft denn da bloß falsch :)
Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 14.09.2010 | | Autor: | meep |
hi,
den entwicklungspunkt richtig einsetzen es ist (x-1) und (y-1) und dann passt auch deine lösung.
mfg
meep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Di 14.09.2010 | | Autor: | herben |
Da steh ich jetzt aber etwas auf dem Schlauch...
ich soll also erhalt $6+0x-6y$, aber wenn ich $f(1,1)$ berechne ist doch
$ [mm] f(1,1)=1(1^2-4)(1^2-1)=1(-3)*0=0 [/mm] $ und nicht 6 ???
lg
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Hallo herben,
> Da steh ich jetzt aber etwas auf dem Schlauch...
>
> ich soll also erhalt [mm]6+0x-6y[/mm], aber wenn ich [mm]f(1,1)[/mm] berechne
> ist doch
> [mm]f(1,1)=1(1^2-4)(1^2-1)=1(-3)*0=0[/mm] und nicht 6 ???
Das hast Du nen Denkfehler drin.
[mm]f\left(1,1\right)+f_{x}\left(1,1}\right)*\left(x-1\right)+f_{y}\left(1,1}\right)*\left(y-1\right)[/mm]
Dies ist das Taylorpolynom 1 Grades um (1.1)
Wenn das gleich sein soll mit
[mm]a+b*x+c*y[/mm]
Dann folgt durch Vergleich der Koeffizienten
[mm]a=f\left(1,1\right)-f_{x}\left(1,1\right)-f_{y}\left(1,1\right)[/mm]
[mm]b=f_{x}\left(1,1\right)[/mm]
[mm]c=f_{y}\left(1,1\right)[/mm]
sein.
Demach ist
[mm]6=f\left(1,1\right)-f_{x}\left(1,1\right)-f_{y}\left(1,1\right)[/mm]
Und da [mm]f_{x}\left(1,1\right)=0[/mm] und
[mm]f_{y}\left(1,1\right) \not= 0[/mm], ist auch
[mm]f\left(1,1\right) \not= 6[/mm]
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mi 15.09.2010 | | Autor: | herben |
Super, vielen Dank. Wieder um einiges schlauer geworden:)
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