Taylorentwicklung in CauchyP. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie $$ f(x) = [mm] \bruch{1}{(1-x)^3} [/mm] $$ am Nullpunkt in eine Taylorreihe und geben Sie den Konvergenzradius an. |
Hi,
ich dachte mir, dass ich das als (doppeltes) Cauchy Produkt von
$$ [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty{x^k} [/mm] $$ entwickele.
Das sähe dann (meiner Meinung nach ) so aus:
$$ [mm] T_0 \left ( \bruch{1}{(1-x)^3} \right [/mm] ) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^k \left ( \sum_{l=0}^k x^{2k-l} \right [/mm] ) [mm] x^{k-j} [/mm] $$
Ist sowas korrekt ? Und der Konvergenzradius der entstehenden Reihe wäre immer noch gleich 1 ?
Dazu eine allgemeine Frage: Wenn ich das Cauchy Produkt zweier Reihen mit Konvergenzradien [mm] r_1, r_2 [/mm] mit [mm] r_1 [/mm] < [mm] r_2 [/mm] bestimmen will, ist dann der konvergenzradius der entstehenden Reihe gleich dem kleineren von beiden, also hier gleich [mm] r_1 [/mm] ?
Vielen Dank !
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke schon, dass du das Produkt ausfuehren musst und dann die Konv. bestimmen.
ein nicht ausgefuehrtes Produkt ist noch keine Taylorreihe!
vielleicht denkst du auch mal statt an Produkt an Ableitung.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, was genau meinst du mit ausführen? Das Produkt als einzelne Summe schreiben, also sowas ?
$$ \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k x^{2k-l} = \sum_{k=0}^\infty \lceil {\bruch{k+1}{2} \rceil } x^k $$
edit:
Ok, ich habs mal über die konventionelle Methode versucht. Dazu habe ich zunächst die n-te Ableitunge gebildet:
$$ f^{(n)} (x) = \bruch{ (-1)^n n!}{2!(1+x)^{n+3}} $$
Am Nullpunkt ist das dann $ f^{(n)}(0) = { \bruch{ (-1)^nn!}{2!} $, die Reihe wäre dann:
$$ \sum_{k=0}^\infty \bruch{ (-1)^n}{2!} x^n $$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 28.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
vorhin stand noch 1-x im Nenner jetzt 1+x was suchst du wirklich? fuer 1-x ist die Reihe falsch.
Deine erste und deine zweite formel widersprechen sich!
Die zweite ist fuer den fall 1+x richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Mist, ich hab's auf meinem Zettel schon versaut. Das 1-x war richtig., das heißt aber, das aus der inneren Ableitung jedes mal ein -1 mehr dazukommt. Also fliegt das [mm] (-1)^n [/mm] raus.
Die Reihe heißt dann:
$$ [mm] \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{2!} x^k [/mm] $$
Sorry !
Die beiden Formeln widersprechen sich, weil die obere ja noch nicht die endgültige version ist. Ich baue die mal fertig, moment.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 28.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
bist du auch offen für eine ganz andere, aber viel einfachere Herangehensweise? 
Allgemein:
[mm] \begin{quotation}
Sei I reelles Intervall und {f:I\rightarrow\IR}\text{
eine beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt die unendliche Reihe}
\begin{align} P_f(x) &=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \dotsb\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \end{align}
die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a, wobei a \in I.
\end{quotation}
[/mm]
(Quelle: Wikipedia)
Wieso gehst du nicht so vor? So (oder so ähnlich) steht es sicher in deinem Skript.
In deinem Falle ist der Entwicklungspunkt a=0.
$ f(x) = [mm] 1*\bruch{1}{(1-x)^3}=(1-x)^{(-3)} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] (-3)*(1-x)^{(-4)} [/mm] $
$ f''(x) = [mm] 12*(1-x)^{(-5)} [/mm] $
$ f''(x) = [mm] -60*(1-x)^{(-6)} [/mm] $
...
Berechne jetzt einmal
- $f'(0)$
- [mm] \bruch{f'(0)}{1!}*(x-0)^1
[/mm]
- [mm] \bruch{f''(0)}{2!}*(x-0)^2
[/mm]
...
Wenn ich diesen Weg gehe und die Regelmäßigkeit erkannt habe, komme ich auf
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-2}*\bruch{k*(k-1)}{2}*x^{k-2}\red{=}\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{(k+2)*(k+1)}{2}*x^{k}
[/mm]
[mm] \red{=}: [/mm] Hier habe ich einen Indexshift vorgenommen.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen, auch wenn ich auf deinen Lösungsansatz keinen Bezug genommen habe. Deswegen setze ich die Frage auf teilweise beantwortet.
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 02.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Azarazul |
Hi,
interessant finde ich den Weg über das doppelte Cauchy Produkt und irgendwie würde ich das gerne mal zu Ende führen. Ich erkläre, was ich bisher gemacht habe und vergesst, was oben dazu steht, das ist falsch.
Gesucht ist das Taylorpolynom bei x0=0 von $ [mm] \bruch{1}{(1-x)^3} [/mm] $ .
Ich dachte es ginge vielleicht auch so:
$$ [mm] (\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] ) ^3 = [mm] T_0(\bruch{1}{(1-x)^3}) [/mm] $$
Dazu bilden wir zunächst das Cauchyprodukt aus zweien der drei Faktoren.
$$ [mm] (\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] ) ^2 * [mm] (\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] ) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \underbrace [/mm] { [mm] \left ( \sum_{j=0}^k 1 \right [/mm] ) [mm] }_{= \bruch{k(k+1)}{2} } x^k [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] $$
Jetzt der eigentlich interessante Schritt , wie ich finde, hierbei müsstet ihr mir ein wenig helfen. Das obige lässt sich nämlich umschreiben zu :
$$ [mm] \sum_{k=0}^\infty \left ( \sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} \right [/mm] ) [mm] x^k [/mm] $$
So, diese Summe : $ [mm] \sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} [/mm] $ hätte ich am liebsten in einer expliziten Formel, ich habe ein wenig rumgespielt und bin auf sowas gekommen : $$ [mm] \sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} [/mm] = [mm] k^3-k^2+k+\sum_{l=0}^{k-1}(k-l)*k [/mm] $$ Diese letzte Summe kriege ich gerade nicht explizit formuliert - aber die sieht mir so aus, als gäbe es da was...
Was mich jetzt noch wundert, entweder ich habe mich jetzt bei dem konventionellen Weg verrechnet oder $ [mm] \sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} [/mm] = 1/2 $ .... aber das kann kaum sein ? Was ist hier also falsch ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> interessant finde ich den Weg über das doppelte Cauchy
> Produkt und irgendwie würde ich das gerne mal zu Ende
> führen. Ich erkläre, was ich bisher gemacht habe und
> vergesst, was oben dazu steht, das ist falsch.
>
> Gesucht ist das Taylorpolynom bei x0=0 von
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^3}[/mm] .
>
> Ich dachte es ginge vielleicht auch so:
>
> [mm](\sum_{k=0}^\infty x^k ) ^3 = T_0(\bruch{1}{(1-x)^3})[/mm]
>
> Dazu bilden wir zunächst das Cauchyprodukt aus zweien der
> drei Faktoren.
>
> [mm](\sum_{k=0}^\infty x^k ) ^2 * (\sum_{k=0}^\infty x^k ) = \sum_{k=0}^\infty \underbrace { \left ( \sum_{j=0}^k 1 \right ) }_{= \bruch{k(k+1)}{2} } x^k * \sum_{k=0}^\infty x^k[/mm]
>
> Jetzt der eigentlich interessante Schritt , wie ich finde,
> hierbei müsstet ihr mir ein wenig helfen. Das obige lässt
> sich nämlich umschreiben zu :
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \left ( \sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} \right ) x^k[/mm]
>
> So, diese Summe : $ [mm]\sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2}[/mm] $
> hätte ich am liebsten in einer expliziten Formel, ich habe
> ein wenig rumgespielt und bin auf sowas gekommen :
> [mm]\sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} = k^3-k^2+k+\sum_{l=0}^{k-1}(k-l)*k[/mm]
Hallo,
ich habe nichts von alledem durchgerechnet, aber die letzte Summe ist
[mm] k*k+(k-1)*k+(k-2)*k+...2*k+1*k=k(1+2+...+k)=k*\bruch{k(k+1)}{2}.
[/mm]
Gruß Abakus
> Diese letzte Summe kriege ich gerade nicht explizit
> formuliert - aber die sieht mir so aus, als gäbe es da
> was...
>
> Was mich jetzt noch wundert, entweder ich habe mich jetzt
> bei dem konventionellen Weg verrechnet oder [mm]\sum_{j=0}^k \bruch{j*(j+1)}{2} = 1/2[/mm]
> .... aber das kann kaum sein ? Was ist hier also falsch ?
|
|
|
| |
|
Hallo James,
> Hi,
>
> interessant finde ich den Weg über das doppelte Cauchy
> Produkt und irgendwie würde ich das gerne mal zu Ende
> führen. Ich erkläre, was ich bisher gemacht habe und
> vergesst, was oben dazu steht, das ist falsch.
>
> Gesucht ist das Taylorpolynom bei x0=0 von
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^3}[/mm] .
>
> Ich dachte es ginge vielleicht auch so:
>
> [mm](\sum_{k=0}^\infty x^k ) ^3 = T_0(\bruch{1}{(1-x)^3})[/mm]
>
> Dazu bilden wir zunächst das Cauchyprodukt aus zweien der
> drei Faktoren.
>
> [mm] $(\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] ) ^2 * [mm] (\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] ) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \underbrace [/mm] { [mm] \left ( \sum_{j=0}^k 1 \right [/mm] ) [mm] }_{= \red{\bruch{k(k+1)}{2}} } x^k [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty x^k$
[/mm]
Na, da hast du irgendwie den zweiten vor dem ersten Schritt gemacht, der rote Term ist erstmal falsch, in der Summe da wird doch "nur" (k+1)-mal die 1 aufaddiert, das ist also $=k+1$
Rechnen wir das "sicherer" mal einzeln aus:
[mm] $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)^3=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)$
[/mm]
Nun ist [mm] $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\blue{\sum\limits_{j=0}^{k}1}\right) [/mm] \ [mm] x^k [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\blue{(k+1)}\cdot{}x^k$ [/mm] wie oben erwähnt
Damit dann [mm] $\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)^3=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k+1)\cdot{}x^k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{j=0}^{k}(j+1)\right) [/mm] \ [mm] x^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{j=1}^{k+1}j\right) [/mm] \ [mm] x^k$ [/mm] Indexverschiebung, nun siehst du, dass in der mittleren Summe die ersten k+1 natürlichen Zahlen aufaddiert werden, also
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(k+2)}{2}x^k$
[/mm]
Das sollte nun deine gesuchte Potenzreihe sein ...
Überprüfe es mal anhand leduarts Tipp mit dem Ableiten:
Es ist mit [mm] $f(x)=\frac{1}{1-x}$ [/mm] doch [mm] $f'(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}$ [/mm] und damit [mm] $f''(x)=\frac{2}{(1-x)^3}$
[/mm]
Also mit [mm] $f(x)=\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k$ [/mm] ist [mm] $\frac{1}{(1-x)^3}=\frac{1}{2}\cdot{}f''(x)=...$
[/mm]
Rechne das mal nach und du kommst genau auf die oben entwickelte Reihe ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 So 01.03.2009 | | Autor: | Azarazul |
Danke, danke. Ich bin ein Troll .... oder müde und übereifrig zugleich. Genug programmiert & gerechnet, ich gehe besser schlafen.
|
|
|
|
