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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorentwicklungen der folgenden Funktionen um den Punkt [mm] x_{0}=0 [/mm] :
a) f(x) = [mm] 17*x^{5}-4*x^{4}+3*x^{3}+7*x-1
[/mm]
b) f(x) = [mm] sin(x)^{3}
[/mm]
c) f(x) = [mm] \bruch{cos(x)}{1-x} [/mm] |
hi,
also aufgabe steht ja oben. uns wurde beigebracht wie folgt bei solchen aufgaben vorzugehen:
wir leiten die funktion immer wieder ab und werten dann die ableitung immer an [mm] x_{0} [/mm] = 0 aus. dann schauen wir, ob wir irgendwelche regelmäßigkeiten bei diesen werten finden und falls ja, packen wir das dann schön in die formel für die taylorreihe und gut is...
so ich bin jetzt bei dieser aufgabe und habe so meine schwierigkeiten und wollte euch jetzt mal fragen ob ihr mir evtl. weiterhelfen könntet:
zu a)
ist ja jetzt nicht schwierig abzuleiten, ab der 6. ableitung wird die ableitung immer 0. ist das hier die regel ? ansonsten ist für mich hier nichts regelmäßiges zu erkennen f(0) = -1, f'(0) = 7, f''(0) = 0, [mm] f^{3}(0) [/mm] = 18, [mm] f^{4}(0) [/mm] = -96...
Also würde ich für diese Taylorentwicklung schreiben: -1 + 7*x + [mm] \bruch{18}{6}*x^{3}-\bruch{96}{4!}*x^{4}+O(x^{5}) [/mm]
zu b) hier hab ichs auch erst mit ableitungen versucht (hab mir die ableitungen vom computer machen lassen, also kann ein evtl. fehler nicht hier liegen) aber bin auch auf keinen grünen zweig gekommen:
f(0) = 0, f'(0) = 0,f''(0) = 0, [mm] f^{3}(0) [/mm] = 6, [mm] f^{4}(0) [/mm] = 0, [mm] f^{5}(0) [/mm] = -60....
also ich sehe hier nicht unbedingt eine regelmäßigkeit, es ist zwar eine da, das seh ich an den ableitungen, aber ich kanns nicht mathematisch ausdrücken.
Also hab ichs mal anders probiert: und zwar kennen wir aus den vorlesungen schon die Taylorreihen vom sin(x) und vom [mm] sin(x)^{2}. [/mm] Diese beiden miteinander multipliziert müsste mir eigentlich die Taylorreihe vom [mm] sin(x)^{3} [/mm] liefern. Also Cauchy-Produkt verwendet:
[mm] a_{n},b_{n} [/mm] sind meine zwei schon vorhandenen Taylorreihen und [mm] c_{n} [/mm] soll mein [mm] sin(x)^{3} [/mm] sein -> [mm] c_{n}= a_{k}*b_{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{k}*x^{2*k+1}}{(2*k+1)!}*\bruch{(-1)^{n-k}*x^{2*n-2*k+2}}{(2*n-2*k+2)!} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+2}*x^{2*n+3}}{(2*n+3)!}
[/mm]
stimmt das ? ^^
zu c) hier komme ich auf f(x) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, [mm] f^{3}(0) [/mm] = 3, [mm] f^{4}(0) [/mm] = 13, [mm] f^{5}(0) [/mm] = 96. Auch hier hab ich die Ableitungen wieder vom Computer machen lassen. Hier seh ich auch keine Regelmäßigkeiten und würde für die Taylorentwicklung angeben:
1 + x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3*x^{3}}{6} [/mm] + [mm] \bruch{13*x^{4}}{24} [/mm] + [mm] \bruch{96*x^{5}}{5!} [/mm] + [mm] O(x^{6})
[/mm]
also für irgendwelche Anregungen, Tipps oder Hilfen wäre ich euch sehr dankbar :)
ciao,
Hendrik
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Hallo!
Zur a)
Ein einfacher Tipp: Berechne doch auch noch die 5. Ordnung, und rechne danach vor allem mal die Brüche aus. Vergleiche deine Taylorreihe dann mal mit der ursprünglichen Funktion!
Zur b)
Die Idee, die Taylor-Reihe aus dem Produkt von zwei Taylor-Reihen zu schreiben, ist richtig!
Andererseits kannst du auch die Taylor-Entwicklung vom Sinus in die von x³ einsetzen, das klappt auch!
c)
Hier würde ich auch mal die Produkt-Methode ansetzen. Die Taylor-Entwickling von [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] sollte nicht so schwer sein, und die vom Sinus kennst du.
Generell macht es bei zusammengesetzten Funktionen mehr Sinn, die Taylor-Reihe aus mehreren Reihen von Teilen der Funktion zusammen zu stricken. Ein Muster erkennt man viel zu selten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 14.05.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Event_Horizon,
> Hallo!
>
> Zur a)
> Ein einfacher Tipp: Berechne doch auch noch die 5.
> Ordnung, und rechne danach vor allem mal die Brüche aus.
> Vergleiche deine Taylorreihe dann mal mit der
> ursprünglichen Funktion!
>
> Zur b)
>
> Die Idee, die Taylor-Reihe aus dem Produkt von zwei
> Taylor-Reihen zu schreiben, ist richtig!
>
> Andererseits kannst du auch die Taylor-Entwicklung vom
> Sinus in die von x³ einsetzen, das klappt auch!
Hier meinte reallifenoob wohl die Reihe [mm]\sin^{3}\left(x\right)[/mm]
>
> c)
>
> Hier würde ich auch mal die Produkt-Methode ansetzen. Die
> Taylor-Entwickling von [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] sollte nicht so schwer
> sein, und die vom Sinus kennst du.
>
>
>
>
> Generell macht es bei zusammengesetzten Funktionen mehr
> Sinn, die Taylor-Reihe aus mehreren Reihen von Teilen der
> Funktion zusammen zu stricken. Ein Muster erkennt man viel
> zu selten.
Gruß
MathePower
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Hallo reallifenoob,
> Bestimmen Sie die Taylorentwicklungen der folgenden
> Funktionen um den Punkt [mm]x_{0}=0[/mm] :
>
> a) f(x) = [mm]17*x^{5}-4*x^{4}+3*x^{3}+7*x-1[/mm]
>
> b) f(x) = [mm]sin(x)^{3}[/mm]
>
> c) f(x) = [mm]\bruch{cos(x)}{1-x}[/mm]
>
> hi,
> also aufgabe steht ja oben. uns wurde beigebracht wie
> folgt bei solchen aufgaben vorzugehen:
>
> wir leiten die funktion immer wieder ab und werten dann die
> ableitung immer an [mm]x_{0}[/mm] = 0 aus. dann schauen wir, ob wir
> irgendwelche regelmäßigkeiten bei diesen werten finden und
> falls ja, packen wir das dann schön in die formel für die
> taylorreihe und gut is...
> so ich bin jetzt bei dieser aufgabe und habe so meine
> schwierigkeiten und wollte euch jetzt mal fragen ob ihr mir
> evtl. weiterhelfen könntet:
>
> zu a)
> ist ja jetzt nicht schwierig abzuleiten, ab der 6.
> ableitung wird die ableitung immer 0. ist das hier die
> regel ? ansonsten ist für mich hier nichts regelmäßiges
> zu erkennen f(0) = -1, f'(0) = 7, f''(0) = 0, [mm]f^{3}(0)[/mm] =
> 18, [mm]f^{4}(0)[/mm] = -96...
> Also würde ich für diese Taylorentwicklung schreiben: -1 +
> 7*x + [mm]\bruch{18}{6}*x^{3}-\bruch{96}{4!}*x^{4}+O(x^{5})[/mm]
Jo, stimmt ja auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Taylorreihe eines Polynoms ist das Polynom selbst.
>
>
> zu b) hier hab ichs auch erst mit ableitungen versucht (hab
> mir die ableitungen vom computer machen lassen, also kann
> ein evtl. fehler nicht hier liegen) aber bin auch auf
> keinen grünen zweig gekommen:
> f(0) = 0, f'(0) = 0,f''(0) = 0, [mm]f^{3}(0)[/mm] = 6, [mm]f^{4}(0)[/mm] =
> 0, [mm]f^{5}(0)[/mm] = -60....
> also ich sehe hier nicht unbedingt eine regelmäßigkeit, es
> ist zwar eine da, das seh ich an den ableitungen, aber ich
> kanns nicht mathematisch ausdrücken.
> Also hab ichs mal anders probiert: und zwar kennen wir aus
> den vorlesungen schon die Taylorreihen vom sin(x) und vom
> [mm]sin(x)^{2}.[/mm] Diese beiden miteinander multipliziert müsste
> mir eigentlich die Taylorreihe vom [mm]sin(x)^{3}[/mm] liefern. Also
> Cauchy-Produkt verwendet:
>
> [mm]a_{n},b_{n}[/mm] sind meine zwei schon vorhandenen Taylorreihen
> und [mm]c_{n}[/mm] soll mein [mm]sin(x)^{3}[/mm] sein -> [mm]c_{n}= a_{k}*b_{n-k}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(-1)^{k}*x^{2*k+1}}{(2*k+1)!}*\bruch{(-1)^{n-k}*x^{2*n-2*k+2}}{(2*n-2*k+2)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{(-1)^{n+2}*x^{2*n+3}}{(2*n+3)!}[/mm]
>
> stimmt das ? ^^
Nein
>
>
> zu c) hier komme ich auf f(x) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1,
> [mm]f^{3}(0)[/mm] = 3, [mm]f^{4}(0)[/mm] = 13, [mm]f^{5}(0)[/mm] = 96. Auch hier hab
> ich die Ableitungen wieder vom Computer machen lassen. Hier
> seh ich auch keine Regelmäßigkeiten und würde für die
> Taylorentwicklung angeben:
> 1 + x + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3*x^{3}}{6}[/mm] +
> [mm]\bruch{13*x^{4}}{24}[/mm] + [mm]\bruch{96*x^{5}}{5!}[/mm] + [mm]O(x^{6})[/mm]
>
Bis auf das Glied [mm]x^{5}[/mm] stimmt das auch.
Die fünfte Ableitung musst also nochmal nachrechnen.
>
>
> also für irgendwelche Anregungen, Tipps oder Hilfen wäre
> ich euch sehr dankbar :)
>
> ciao,
> Hendrik
Gruß
MathePower
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danke erstmal für die antworten :)
also die c) werd ich dann wohl nochmal nachrechnen...
zu b)
wenn das falsch ist, dann hab ich eigentlich keine ahnung wie, bzw. was ich machen muss um hier das richtige rauszubekommen... wenn ihr mir da weiterhelfen könntet, wäre das echt cool :)
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei b hast du nur nen Fehler beim Ausmultiplizieren gemacht. du bekommst doch [mm] x^n [/mm] als [mm] x*x^{n-1}; x^2*x^{n-2}..... [/mm] und nicht nur bei [mm] x^k*x^{n-k} [/mm] .
für die ersten paar ist das aber ja nicht so viel.
c) ist auch die Reihe für cosx Mal Reihe von 1/(1-x) (geometr. Reihe).
Gruss leduart
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k also zu c) der Faktor bei [mm] x^{5} [/mm] ist 65 also komme ich für die Taylorentwicklung auf 1 + x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3*x^{3}}{6} [/mm] + [mm] \bruch{13*x^{4}}{4!} [/mm] + [mm] \bruch{65*x^{5}}{5!} [/mm] + [mm] O(x^{6})
[/mm]
die andere Lösung mit dem Cauchy-Produkt lass ich wohl, unser matheprof hat gemeint, wenn wir nach 5-6mal ableiten keine regelmäßigkeiten findet, dann akzeptieren die wohl auch die oben stehende Lösung...
ja dann noch zur b)
ich glaub ich hab mich da verschrieben:
sin(x) = [mm] \bruch{(-1)^{n}}{(2*n+1)!}*x^{2*n+1}
[/mm]
[mm] sin(x)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+2)!}*x^{2*n+2}
[/mm]
dann hab ich als cauchy-produkt:
[mm] (\bruch{(-1)^{k}}{(2*k+1)!}*x^{2*k+1}) [/mm] * [mm] \bruch{(-1)^{n-k+2}}{(2*n-2*k+2)!}*x^{2*n-2*k+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+3)!}*x^{2*n+3}
[/mm]
so richtig ?
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bei b dann also [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+3)!}*x^{2*n+3} [/mm] ?
mfg
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Hallo reallifenoob,
> bei b dann also
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+3)!}*x^{2*n+3}[/mm]
> ?
Das stimmt nicht.
[mm]\sin^{3}\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}*x^{2k+3}\left(\summe_{l=0}^{k}\bruch{1}{\left(2l+1\right)!}\left(\summe_{m=0}^{k-l}\bruch{1}{\left(2m+1\right)!*\left(2k-2l-2m+1\right)!}\right)\right)[/mm]
>
> mfg
Gruß
MathePower
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Hallo,
> dann hab ich als cauchy-produkt:
>
> [mm](\bruch{(-1)^{k}}{(2*k+1)!}*x^{2*k+1})[/mm] * [mm]\bruch{(-1)^{n-k+2}}{(2*n-2*k+2)!}*x^{2*n-2*k+2}[/mm]
= [mm]\bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+3)!}*x^{2*n+3}[/mm]
>
> so richtig ?
Wie hast du denn da die Fakultäten im Nenner zusammengefasst?
Das ist mir nicht ersichtlich, vllt. kannst du das nochmal kurz erläutern?!
LG
schachuzipus
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hm^^ne kann ich dir net erklären
da hab ich ehrlich gesagt geraten....
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jo ich hab mir das irgendwie zusammengereimt bis es schön ausgesehen hat ;) aber im nachhinein betrachtet ist das ziemlicher mist ...
ich geb dann einfach die unvereinfachte formel als lösung ab.... mal schauen, was draus wird :)
auf jedenfall schonmal danke an alle, ihr habt mir wirklich geholfen
ciao,
hendrik
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Hallo reallifenoob,
> jo ich hab mir das irgendwie zusammengereimt bis es schön
> ausgesehen hat ;) aber im nachhinein betrachtet ist das
> ziemlicher mist ...
> ich geb dann einfach die unvereinfachte formel als lösung
> ab.... mal schauen, was draus wird :)
Die Formel sollte schon stimmen, bevor Du sie abgeben wirst.
> auf jedenfall schonmal danke an alle, ihr habt mir
> wirklich geholfen
>
> ciao,
> hendrik
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Du hast also
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^{n+2}\cdot{}x^{2n+3}}{(2k+1)!\cdot{}(2n-2k+2)!}[/mm]
>
> Aber ich habe im Moment leider auch keine Idee, wie du das
> weiter verwurschteln kannst ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, da $(2k+1) + (2n-2k+2)= 2n+3$, ist
[mm] \frac{1}{(2k+1)!\cdot{}(2n-2k+2)!} = \bruch{1}{(2n+3)!} \vektor{2n+3 \\ 2k+1} [/mm], also die Summe
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^{n+2}}{(2n+3)!} \vektor{2n+3 \\ 2k+1} x^{2n+3}
= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+2}}{(2n+3)!}\sum\limits_{k=0}^n\vektor{2n+3 \\ 2k+1} x^{2n+3}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo reallifennoob,
> k also zu c) der Faktor bei [mm]x^{5}[/mm] ist 65 also komme ich
> für die Taylorentwicklung auf 1 + x + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{3*x^{3}}{6}[/mm] + [mm]\bruch{13*x^{4}}{4!}[/mm] +
> [mm]\bruch{65*x^{5}}{5!}[/mm] + [mm]O(x^{6})[/mm]
>
> die andere Lösung mit dem Cauchy-Produkt lass ich wohl,
> unser matheprof hat gemeint, wenn wir nach 5-6mal ableiten
> keine regelmäßigkeiten findet, dann akzeptieren die wohl
> auch die oben stehende Lösung...
[mm]\bruch{\cos\left(x\right)}{1-x}=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\summe_{l=0}^{k}\bruch{\left(-1\right)^{k-l}}{2*\left(k-l\right)!}\right)*x^{k}[/mm]
>
> ja dann noch zur b)
>
> ich glaub ich hab mich da verschrieben:
>
> sin(x) = [mm]\bruch{(-1)^{n}}{(2*n+1)!}*x^{2*n+1}[/mm]
>
> [mm]sin(x)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+2)!}*x^{2*n+2}[/mm]
>
> dann hab ich als cauchy-produkt:
>
> [mm](\bruch{(-1)^{k}}{(2*k+1)!}*x^{2*k+1})[/mm] *
> [mm]\bruch{(-1)^{n-k+2}}{(2*n-2*k+2)!}*x^{2*n-2*k+2}[/mm]
> = [mm]\bruch{(-1)^{n+2}}{(2*n+3)!}*x^{2*n+3}[/mm]
>
> so richtig ?
Leider nicht.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ein Tipp zu Teil b: du könntest die Identität
[mm] \sin^3 x = \bruch{1}{4}(3\sin x - \sin(3x)) [/mm]
benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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, wie du's gemacht haben könntest:
