Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Di 15.01.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktion das Taylor-Polynom vom Grad zwei zum Entwicklungspunkt [mm] $(x_0,y_0)=(1,1)=a$.
[/mm]
[mm] $f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ [/mm] |
Hallo,
wäre nett wenn jemand Zeit hat mal zu schauen ob alles korrekt ist.
[mm] $f_x(a)=\frac{\delta f}{\delta x}(a)=\left[\frac{2y}{(x+y)^2}\right]_{a=(1,1)}=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f_y(a)=\frac{\delta f}{\delta y}(a)=\left[\frac{-2x}{(x+y)^2}\right]_{a=(1,1)}=-\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f_{xx}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(a)=\left[-\frac{4y}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=-\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f_{yy}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(a)=\left[\frac{4x}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f_{xy}(a)=f_{yx}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta x y}(a)=\left[\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(x,y)\approx f(a)+\frac{1}{1!}\frac{\delta f}{\delta x}(a)(x-a_1)+\frac{1}{1!}\frac{\delta f}{\delta y}(a)(y-a_2)+\frac{1}{2!}\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(a)(x-a_1)^2+\frac{1}{1!1!}\frac{\delta^2 f}{\delta x y}(a)(x-a_1)(y-a_2)+\frac{1}{2!}\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(a)(y-a_2)^2$
[/mm]
[mm] $=0+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{2}(y-1)-\frac{1}{4}(x-1)^2+0+\frac{1}{4}(y-1)^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}(x-y)+\frac{1}{4}(-(x-1)^2+(y-1)^2)$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Di 15.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bestimmen Sie für die Funktion das Taylor-Polynom vom Grad
> zwei zum Entwicklungspunkt [mm](x_0,y_0)=(1,1)=a[/mm].
>
> [mm]f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}[/mm]
> Hallo,
>
> wäre nett wenn jemand Zeit hat mal zu schauen ob alles
> korrekt ist.
>
>
> [mm]f_x(a)=\frac{\delta f}{\delta x}(a)=\left[\frac{2y}{(x+y)^2}\right]_{a=(1,1)}=\frac{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f_y(a)=\frac{\delta f}{\delta y}(a)=\left[\frac{-2x}{(x+y)^2}\right]_{a=(1,1)}=-\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f_{xx}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(a)=\left[-\frac{4y}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=-\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f_{yy}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(a)=\left[\frac{4x}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f_{xy}(a)=f_{yx}(a)=\frac{\delta^2 f}{\delta x y}(a)=\left[\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\right]_{a=(1,1)}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x,y)\approx f(a)+\frac{1}{1!}\frac{\delta f}{\delta x}(a)(x-a_1)+\frac{1}{1!}\frac{\delta f}{\delta y}(a)(y-a_2)+\frac{1}{2!}\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(a)(x-a_1)^2+\frac{1}{1!1!}\frac{\delta^2 f}{\delta x y}(a)(x-a_1)(y-a_2)+\frac{1}{2!}\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(a)(y-a_2)^2[/mm]
>
> [mm]=0+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{2}(y-1)-\frac{1}{4}(x-1)^2+0+\frac{1}{4}(y-1)^2[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}(x-y)+\frac{1}{4}(-(x-1)^2+(y-1)^2)[/mm]
lässt sich noch weiter zusammenfassen zu
$= [mm] -\bruch{1}{4}*x^2+\bruch{1}{4}y^2+x-y$
[/mm]
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 15.01.2013 | | Autor: | Trolli |
Vielen dank, schönen Abend noch ;)
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