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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Sa 23.05.2009
Autor: cracker

Aufgabe
Taylorreihe
Berechnen Sie die Taylorreihe von f (x) = [mm] e^{1-sin(x²/2)-cos(x)} [/mm] um x = 0
bis zum Glied [mm] x^4. [/mm] Das Restglied R5 = [mm] O(x^5) [/mm] braucht nicht angegeben zu werden.
Hinweis: Kommen Sie ohne (eigenes) Differenzieren aus? Sie sollten!

hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

die taylorreihe an sich verstehe ich ja einigermaßen, also ableiten u in die formel einsetzen.
hier soll ich das aber ohne selbst abzuleiten lösen...
wie soll denn das gehen? ich hab schon überlegt es mit der taylorreihe der e-funtion zu versuchen, aber das ergibt auch keinen sinn...

danke
cracker

        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 23.05.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Doch, das ergibt Sinn.

Man kann eine T-Reihe in eine andere einsetzen. Du solltest die Taylor-Reihen von [mm] e^x, \sin(x) [/mm] und [mm] \cos(x) [/mm] kennen, und dann ist das nur noch stupides Einsetzen...


[mm] \sin(z)=z-\frac{1}{6}z^3+\mathcal{O}(z^5) [/mm]

Die T-Reihe von Polynomen ist simpel:
[mm] \frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2} [/mm]

und damit:

[mm] \sin \frac{x^2}{2}=\left(\frac{x^2}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{x^2}{2}\right)^3+\mathcal{O}\left(\left(\frac{x^2}{2}\right)^5\right)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^\red{6}}{6*2^3}+\mathcal{O}(...)=\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^6) [/mm]

In diesem Beispiel gibts den Exponenten 5 nicht, daher ist das sogar 6 Ordnung.
Du kannst dir übrigens viel Rechenarbeit sparen, wenn du Terme, die zu zu hohen Ordnungen führen, nicht ganz ausrechnest. Die Berechnung von [mm] 6*2^3 [/mm] ist z.B. überflüssig. Auf der anderen Seite ists natürlich interessant, daß du hier eine Ordnung geschenkt bekommst...






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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Sa 23.05.2009
Autor: cracker

hi, danke erstmal für die antwort!
ich brauche jetzt also nur die taylorreihe der e-funktion und schreiben statt dem x immer (1-sin(x²/2)-cos(x))? und das wars?
oder hab ich das falsch verstanden?

Bezug
                        
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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 23.05.2009
Autor: angela.h.b.


> hi, danke erstmal für die antwort!
>  ich brauche jetzt also nur die taylorreihe der e-funktion
> und schreiben statt dem x immer (1-sin(x²/2)-cos(x))? und
> das wars?
>  oder hab ich das falsch verstanden?

Hallo,

so kannst Du anfangen.

Dann ersetzt Du in (1-sin(x²/2)-cos(x)) die Funktionen sin(x²/2) und cos(x) auch durch ihre Taylorreihen.

Oder umgekehrt: erst sin(x²/2) und cos(x) in (1-sin(x²/2)-cos(x)) , dann die Taylorreihe für [mm] e^x. [/mm]

Probier mal ein bißchen, Zeig' bei Rückfragen, was Du getan hast.

Gruß v. Angela



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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 24.05.2009
Autor: cracker

hi,

also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in  einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm] 1-x²/2+x^4/24. [/mm]
Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann steht am schluss nur noch [mm] x^4/24 [/mm] im exponenten der e-funktion!
Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm] x^4 [/mm] ist dann einfach nur noch [mm] 1+x^4/24, [/mm] oder?
Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach gemacht?

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Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 So 24.05.2009
Autor: angela.h.b.


> hi,
>  
> also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn
> ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in  
> einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als
> taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm]1-x²/2+x^4/24.[/mm]
> Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann
> steht am schluss nur noch [mm]x^4/24[/mm] im exponenten der
> e-funktion!
>  Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm]x^4[/mm] ist dann einfach
> nur noch [mm]1+x^4/24,[/mm] oder?
>  Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach
> gemacht?

Hallo,

selbst aufgeschrieben und gerechnet habe ich jetzt nichts, aber ich hab's mal geplottet, und das sieht  gut aus.

Gruß v. Angela


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Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 So 24.05.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> hi,
>  
> also ich hab herausgefunden, dass es schneller geht wenn
> ich erst die taylorreihen von sin(x²/2) und cos(x) in  
> einsetze. Denn für sin (x²/2) kommt ja einfach x²/2 als
> taylorreihe heraus und für cos(x) nur [mm]1-x²/2+x^4/24.[/mm]
> Wenn ich das dann in (1-sin(x²/2)-cos(x)) einsetze, dann
> steht am schluss nur noch [mm]x^4/24[/mm] im exponenten der
> e-funktion!
>  Davon die Taylorreihe bis zum glied [mm]x^4[/mm] ist dann einfach
> nur noch [mm]1+x^4/24,[/mm] oder?


Die Taylorentwicklung bis zum Grad 4 muß doch so heißen:

[mm]T_{4}\left(x\right)=1-\bruch{x^{4}}{24}[/mm]


>  Stimmen meine ergebnisse oder hab ichs mir zu einfach
> gemacht?


Die Überlegungen von Dir sind richtig.

Setzt man das zusammen, dann ist

[mm]1-\sin\left(\bruch{x^{2}}{2}\right)-\cos\left(x\right) = 1-\left(\bruch{x^{2}}{2}+O\left(x^{6}\right)\right)-\left(1-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{4}} {24}+O\left(x^{6}\right)\right)[/mm]

[mm]=-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)[/mm]

Dann ist

[mm]e^{-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)} = 1 + \left(-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6}\right)\right)+O\left(x^{8}\right)=1-\bruch{x^{4}}{24}+O\left(x^{6\right)[/mm]


Gruß
MathePower

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Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 So 24.05.2009
Autor: cracker

Ah..
also war nur ein vorzeichenfehler..
danke!

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Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Sa 23.05.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Ich will dir noch was schreiben, was ich eben aus Zeitmangel nicht getan habe.

Von einer Taylor-Reihe erwartet man, daß sie um den Entwicklungspunkt die Funktion am besten annähert.

Schau dir [mm] e^{\cos x} [/mm] an, und entwickel das um x=0.

Du hast dann [mm] $\cos x=1-\frac{1}{2}x^2+\mathcal{O}(x^4)$ [/mm] , das heißt also, der COS liefert für [mm] $x\approx [/mm] 0$ Werte von [mm] $\approx [/mm] 1$.

Das heißt, die e-Funktion wird mit Werten um 1 gefüttert. Wenn du für die e-Funktion nun aber die bekannte Taylorreihe um 0 benutzt, ist die Annäherung nicht mehr so gut. Demnach mußt du in diesem Fall die e-Funktion um x=1 entwickeln, um die Taylorreihe des COS einsetzen zu können.



Für deine Aufgabe spielt das aber keine Rolle, denn da steht [mm] \red{1}+\sin-\red{\cos} [/mm] . Für Werte um [mm] x\approx0 [/mm] liefert diese Summe auch Werte um 0, und daher kannst du das in die Taylorreihe der e-Funktion um 0 einsetzen.

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