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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
| Aufgabe | | Formulieren Sie das Taylorpolynom für [mm] g(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] mithilfe der bekannten Formel (Formelsammlung) um den Nullpunkt. Bilden Sie das gliedweise Integral [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt} [/mm] und ermitteln Sie den Wert F(0.5). |
Bitte um Hilfe:
Verstehe die Angabe nicht wirklich: g(x) gegeben und [mm] \integral_{0}^{x}{g(t) dt} [/mm] gefragt?
Sollte [mm] \integral_{0}^{x}{g(x) dx} [/mm] heißen oder?
Habe die bekannte Formel für [mm] \bruch{1}{\wurzel{1\pm x}} [/mm] genommen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\pm1)^n [/mm] * [mm] (n^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
= [mm] x+\bruch{x^2}{\wurzel{2}}+\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{x^4}{\wurzel{4}}....
[/mm]
x durch [mm] x^2 [/mm] ersetzt:
[mm] =x^2+\bruch{x^4}{\wurzel{2}}+\bruch{x^6}{\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{\wurzel{4}}....
[/mm]
Bestimmtes gliedweises Integral:
[mm] \integral_{0}^{x}{x^2 dx}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\integral_{0}^{x}{x^4 dx}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\integral_{0}^{x}{x^6 dx}+\bruch{1}{\wurzel{4}}\integral_{0}^{x}{x^8 dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5\wurzel{2}}+\bruch{x^7}{7\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{8\wurzel{4}}
[/mm]
F(0.5)=0,0469745
Wenn ich zu Fuß den Taylor bilde komme ich auf:
g(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
gx= [mm] -x*(1+x^2)^{- \bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] gxx=-(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}+3x^2*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}
[/mm]
[mm] gxxx=-3x(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}-30x^2 [/mm] * [mm] (1+x^2)^{-\bruch{7}{2}}
[/mm]
g(0)=1
gx(0)=0
gxx(0)=-1
gxxx(0)=0
gxxxx=-3
[mm] \Rightarrow T(4)=x-\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^4}{8}
[/mm]
gliedweises Integral wie oben:
[mm] =\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^5}{40}
[/mm]
F(0.5)=0,1033854
Vielen Dank im Vorraus für die Korrektur!
Lg
Jakob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
Danke für die Antwort!
Die Formel ist 1:1 aus der Formelsammlung für die Prüfung abgeschrieben....
Steht dort unter: Taylorentwicklung wichtiger Funktionen (xo=0); Wurzeln (Binom. Reihe mit [mm] \alpha=\pm\bruch{1}{2} [/mm] ; Gültigkeit: x<1
Habe jetzt für die fxxxx 9 rausbekommen.
und somi: [mm] T(4)=x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^4}{24}
[/mm]
und fürs Integral: [mm] \bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120}
[/mm]
und F(0.5)=0,104427
Stimmt das jetzt?
Danke schön
mfg
Jakob
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Hallo Jakob,
> Danke für die Antwort!
> Die Formel ist 1:1 aus der Formelsammlung für die
> Prüfung abgeschrieben....
> Steht dort unter: Taylorentwicklung wichtiger Funktionen
> (xo=0); Wurzeln (Binom. Reihe mit [mm]\alpha=\pm\bruch{1}{2}[/mm] ;
> Gültigkeit: x<1
Das ist immer noch falsch, siehe die Mitteilung von kalkulator ...
>
> Habe jetzt für die fxxxx 9 rausbekommen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und somi: [mm]T(4)=x-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^4}{24}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hinten steht doch [mm] $\frac{g^{(4)}(0)}{4!}\cdot{}x^4=\frac{9}{4\cdot{}3\cdot{}2}\cdot{}x^4=\frac{3}{8}x^4$
[/mm]
Wie kommst du außerdem auf $x$ am Anfang?
Du hattest doch in der Rechnung "zu Fuß" richtig berechnet $g'(0)=0$
Da steht also [mm] $\frac{g'(0)}{1!}x^1=0\cdot{}x=0$
[/mm]
Dafür hattest du $g(0)=1$, also ist der erste Summand [mm] $\frac{g(0)}{0!}x^0=\frac{1}{1}\cdot{}1=1$
[/mm]
>
> und fürs Integral:
> [mm]\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120}[/mm]
>
> und F(0.5)=0,104427
>
> Stimmt das jetzt?
Fast, der erste und letzte Summand waren falsch, damit auch das Integral, flicke das kurz bei, dann hast du's ...
> Danke schön
> mfg
> Jakob
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
Ich kann nicht mehr denken. Zeit für eine Pause. Habe den 9 verschlampt.
Habs jetzt aber. Vielen Dank.
Könnte mir bitte jemand noch kurz diese Formel erklären.
Ist das ein Vektor? Oder was bedeutet das -1/2 über dem n...?
mfg
Jakob
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Hallo nochmal,
> Ich kann nicht mehr denken. Zeit für eine Pause. Habe den
> 9 verschlampt.
> Habs jetzt aber. Vielen Dank.
Bedenke auch meinen Edit bzgl. des ersten Summanden in [mm] $T_4(x)$ [/mm] !
Es treten nur gerade Exponenten von x auf in der Reihendarst.
>
> Könnte mir bitte jemand noch kurz diese Formel erklären.
> Ist das ein Vektor? Oder was bedeutet das -1/2 über dem
> n...?
Das ist ein verallg. Binomialkoeffizient [mm] $\vektor{-\frac{1}{2}\\n}$
[/mm]
Siehe auf Wiki zur Binomialreihe:
Für [mm] $\alpha$ [/mm] nicht ganzzahlig und [mm] $\alpha<0$ [/mm] ist [mm] $(1+x)^{\alpha}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\vektor{\alpha\\k}\cdot{}x^k$ [/mm] die Taylorreihe zu [mm] $(1+x)^{\alpha}$ [/mm] um [mm] $x_0=0$
[/mm]
Die Darstellung mit dem Binomialkoeffizienten ergibt sich sofort aus der Taylorentwicklung von [mm] $f(x)=(1+x)^{\alpha}$.
[/mm]
Berechne mal die ersten 4 Summanden gem. der Taylorformel.
Du wirst sehen, das haut wunderbar hin ...
>
> mfg
> Jakob
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 16.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind verallgemeinerte "Binomialkoeffizienten." gesprochen:"-1/2 über n"
die Definition, und damit wie man sie ausrechnet sollte in deiner Formelsammlung stehen. sonst sieh in wiki nach
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 16.02.2010 | | Autor: | Kubs3 |
Alles klar!
Vielen Dank!!!!!!!
mfg
Jakob
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Di 16.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
> Formulieren Sie das Taylorpolynom für
> [mm]g(x)=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] mithilfe der bekannten
> Formel (Formelsammlung) um den Nullpunkt. Bilden Sie das
> gliedweise Integral [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] und
> ermitteln Sie den Wert F(0.5).
> Bitte um Hilfe:
> Verstehe die Angabe nicht wirklich: g(x) gegeben und
> [mm]\integral_{0}^{x}{g(t) dt}[/mm] gefragt?
> Sollte [mm]\integral_{0}^{x}{g(x) dx}[/mm] heißen oder?
>
> Habe die bekannte Formel für [mm]\bruch{1}{\wurzel{1\pm x}}[/mm]
> genommen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\pm1)^n[/mm] * [mm](n^{-\bruch{1}{2}})[/mm] * [mm]x^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich glaube, in Deiner Formelsammlung steht nicht $n^{-\frac{1}{2}}$, sondern ${\vektor{-\frac{1}{2}\\n}$. Dann ändert sich ab hier der ganze Rechenweg.
Viele Grüße, Andreas
> =
> [mm]x+\bruch{x^2}{\wurzel{2}}+\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{x^4}{\wurzel{4}}....[/mm]
>
> x durch [mm]x^2[/mm] ersetzt:
>
> [mm]=x^2+\bruch{x^4}{\wurzel{2}}+\bruch{x^6}{\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{\wurzel{4}}....[/mm]
>
> Bestimmtes gliedweises Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{x^2 dx}+\bruch{1}{\wurzel{2}}\integral_{0}^{x}{x^4 dx}+\bruch{1}{\wurzel{3}}\integral_{0}^{x}{x^6 dx}+\bruch{1}{\wurzel{4}}\integral_{0}^{x}{x^8 dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^5}{5\wurzel{2}}+\bruch{x^7}{7\wurzel{3}}+\bruch{x^8}{8\wurzel{4}}[/mm]
>
> F(0.5)=0,0469745
>
> Wenn ich zu Fuß den Taylor bilde komme ich auf:
>
> g(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
> gx= [mm]-x*(1+x^2)^{- \bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]gxx=-(1+x^2)^{-\bruch{3}{2}}+3x^2*(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
> [mm]gxxx=-3x(1+x^2)^{-\bruch{5}{2}}-30x^2[/mm] *
> [mm](1+x^2)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]
>
> g(0)=1
> gx(0)=0
> gxx(0)=-1
> gxxx(0)=0
> gxxxx=-3
>
> [mm]\Rightarrow T(4)=x-\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^4}{8}[/mm]
>
> gliedweises Integral wie oben:
> [mm]=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^5}{40}[/mm]
>
> F(0.5)=0,1033854
>
> Vielen Dank im Vorraus für die Korrektur!
> Lg
> Jakob
>
>
>
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
