Taylorreihenentwicklung sin(x) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo alle zusammen,
wir haben die Reihe
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(x_{0}) \bruch{(x-x_{0})^{n}}{n!}
[/mm]
eine Taylorentwicklung genannt.
Wie kann ich jetzt sin(x) in so einer Form aufschreiben?
f(x)=sin(x)
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
f'''(x)=-cos(x)
f''''(x)=sin(x)
Wenn ich jetzt [mm] x_{0}=0 [/mm] wähle, bekomme ich:
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=-1
f''''(0)=0
gibt es da irgendeinen Zusammenhang zwischen [mm] f^{(n)}(0) [/mm] und n?
Wäre dankbar für jegliche Hilfe....
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 23.10.2006 | | Autor: | kerli |
Hey Docy,
du hast die ersten Ableitungen von sin(x) ja schon hingeschrieben und man sieht den Zusammenhang zwischen n und der n-ten Ableitung hier schon sehr leicht.
So kannst du etwa zusammenfassen, dass
[mm] f^n(0)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \pm 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Setzt du das in die Taylorformel ein fallen dir ja schonmal die Hälfte der Terme weg,
dann bleiben noch die mit [mm] f^n(0) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
hier muss dir nur noch eine ähnliche Regelmäßigkeit wie oben für 0 und [mm] \pm [/mm] 1 einfallen, wo man für gerade und ungerade n unterscheidet. Wenn dir das nicht gleich ins Auge fällt, dann notier dir nochmal die Ableitungen für n=5 bis 7
Dann kannst du die Taylorformel für den Fall f(x)=sin(x) für
[mm] x_{0} [/mm] = 0 schon hinschreiben.
mfG Kerli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo kerli,
das ist ja gerade mein Problem, ich sehe zwar, dass zum Beispiel für n=1, 5, 9, usw. die jeweiligen Ableitungen 1 sein müssen und für n=3, 7, 11, usw. -1, aber leider weiß ich nicht, wie ich das Ganze in Abhängigkeit von n darstellen soll. Kannst du mir da vielleicht nen Tipp geben.... 
Gruß
Docy
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Das ganze wird als Summe von Gliedern aufgeschrieben:
1. Glied: [mm] f(x_0)=0
[/mm]
2. Glied: [mm] \bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)=\bruch{1}{1}*(x-0)=x
[/mm]
3. Glied: [mm] \bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)=\bruch{0}{2}*(x-0)=0
[/mm]
4. Glied: [mm] \bruch{f'''(x_0)}{3!}*(x-x_0)=\bruch{-1}{6}*(x-0)=\bruch{-1}{6}*x
[/mm]
5. Glied: [mm] \bruch{f''''(x_0)}{4!}*(x-x_0)=\bruch{0}{24}*(x-0)=0
[/mm]
6. Glied: [mm] \bruch{f'''''(x_0)}{5!}*(x-x_0)=\bruch{1}{120}*(x-0)=\bruch{1}{120}*x
[/mm]
7. Glied:
8. Glied:
usw.
man erkennt, alle ungeraden Glieder sind 0, man braucht nur die geraden Glieder zu berücksichtigen, viel Erfolg beim nachrechnen
mfg
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Steffi21,
muss das nicht heißen:
3. Glied : [mm] \bruch{f''(x_0)}{2!}\cdot{}(x-x_0)^2=\bruch{0}{2}\cdot{}(x-0)^2=0 [/mm]
4. Glied : [mm] \bruch{f'''(x_0)}{3!}\cdot{}(x-x_0)^3=-\bruch{-1}{6}x^3
[/mm]
.
.
.
ja, aber wie bekomme ich [mm] f^{(n)}(0) [/mm] raus?
Gruß
Docy
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Sorry, Du hast recht:
2. Glied: Exponent 1
3. Glied: Exponent 2
4. Glied: Exponent 3
u.s.w.
das Vorzeichen "minus" vor dem Bruchstrich entfällt aber, ist schon im Zähler vorhanden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Leute,
freut mich, dass ihr mir alle so fleißig helfen wollt, eure Antworten sind allesamt richtig. Allerdings sieht mein Problem wie folgt aus:
Wie soll [mm] f^{(n)}(0) [/mm] aussehen? Es muss ja an erster Stelle 0 sein, an zweiter 1, an dritter -1 und an vierter wieder 0, usw. Ich bekomme da im Augenblick leider keine Abhängigkeit von n zustande, die das alles berücksichtigt. Ich hoffe, ich habe mich etwas klarer ausdrücken können....
Gruß
Docy
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Hallo Docy,
ich glaube jetzt Dein Problem zu wissen:
das 1. Glied weglassen, da steht ja noch keine Ableitung,
bei der 1. Ableitung: 1
bei der 2. Ableitung: 0
bei der 3. Ableitung: -1
bei der 4. Ableitung: 0
alles beginnt von vorne.
23=3(mod4) bedeutet, 23 ist durch 4 teilbar mit Rest 3,
11=1(mod2) bedeutet, 11 ist durch 2 teilbar mit Rest 1,
jetzt zur schreibweise von "sein_kleines" [mm] f^{(n)}(x) [/mm] bedeuten die n-te Ableitung.
Beispiel:
43. Ableitung 43=3(mod4), 43 ist durch 4 teilbar mit Rest 3, also -1
21. Ableitung 21=1(mod4), 21 ist durch 4 teilbar mit Rest 1, also 1
18. Ableitung 18=2(mod4), 18 ist durch 4 teilbar mit Rest 2, also 0
probiere mal verschiedene Ableitungen aus, dann ist die Schreibweise von "sein_kleines" zu verstehen. Somit kannst Du für die n. Ableitung angeben, ob 1, -1 oder 0 rauskommt.
viel Erfolg
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Docy |
Hi Steffi21,
hey danke, ich hab das die mitteilung von sein_kleines schon verstanden, nur wusste ich nicht, ob es formal so richtig ist, aber wenn's in Ordnung ist....
Vielen Dank euch allen
Gruß
Docy
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.... Docy, hast du irgendeinen Messenger ? Sorry, das ich das jetzt hier in den Thread mit reinschreibe, aber ich kann noch keine PM´s verschicken !
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Nabend !
Also wir haben diese Tylorreihe auch entwickelt, haben in der Lösung jedoch die 0 als Lösung für die geraden "n" mit berücksichtigt.
so, und nu vorweg, ich kann mit dem Formeleditor net umgehen, also Sorry, ich hoff, es wird einigermaßen verständlich ! 
[mm] f^{(n)}(x_{0})=\begin{cases}1, & \mbox{für } m \mbox{= 1} \\ - 1, & \mbox{für } m \mbox{= 3} \\ 0, & \mbox{für } m \mbox{ = sonstige} \end{cases}
[/mm]
wobei zu setzen ist: m = n mod 4
sprich also Modulo-Division...
das hab ich so nicht in der Formel unterbekommen....
Laut unserem Prof. is das okay so....
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