Teilbarkeit Zweierpotenz < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
Eine Zahl ist genau dann durch [mm] 2^{n} [/mm] teilbar, wenn die letzten n Ziffern durch [mm] 2^{n} [/mm] teilbar sind. |
Hallo!
Hab schon wieder eine Frage. Würde gerne wissen, wie ich bei diesem Beweis vorgehen soll. Induktion?
Da komme ich aber nicht besonders weit...
Wäre für Ansätze dankbar!
Grüße
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 23.01.2008 | | Autor: | guenther |
Versuch es einmal damit, die zu teilende Zahl Z als Summe darzustellen:
Z = a*1 + b*2 * c*2² + d*2³ + .....
teile dann durch 1, durch 2, durch 2², durch 2³ ....
lg, guenther
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 23.01.2008 | | Autor: | guenther |
oder Z im Dezimalsystem wird offensichtlicher
Z = a*1 + b*10 + c*10² + d*10³ + ....
und untersuchen, was passiert, wenn man durch Potenzen von 2 teilt, wobei überlegt werden kann, daß 10 = 2*5 ist
guenther
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Walde |
hi bez.jeany,
ich gebe dir keinen sauberen Beweis, aber folgende Überlegung bringt dich hoffentlich weiter.
Zunächst mal:
Wenn ich eine Zahl mit k Ziffern zerlegen möchte in eine Summe ihrer ersten k-n und ihrer letzten n Ziffern, geht das immer indem ich ihre ersten k-n Ziffern mit [mm] 10^n [/mm] multipliziere plus ihre letzten n Ziffern.
Beispiel
123456 zerlegt in die letzten 3 Ziffern und ersten 6-3=3 Ziffern:
[mm] 123*10^3+456=123000+456
[/mm]
123456 zerlegt in die letzten 2 Ziffern und ersten 6-2=4 Ziffern:
[mm] 1234*10^2+56=123400+56
[/mm]
Ok?
Angenommen,du hast jetzt eine Zahl, deren letzten n Ziffern durch [mm] 2^n [/mm] teilbar sind, dann zerlege sie in die Summe ihrer ersten Ziffern (wieviele das auch immer sind) mal [mm] 10^n [/mm] und ihre letzten n Ziffern, wie oben gesehen.
Du hast dann etwas in der Form
[mm] x*10^n+Rest,
[/mm]
wobei der Rest durch [mm] 2^n [/mm] teilbar ist (nach Vorraussetzung) und [mm] x\in\IN [/mm] beliebig (je nachdem,wie deine Zahl halt aussieht).
Jetzt musst du nur folgendes wissen oder dir klar machen:
Ist jeder Summand einer Summe durch eine Zahl teilbar,so ist es auch die Summe.
Du musst also nur noch zeigen,dass [mm] x*10^n [/mm] durch [mm] 2^n [/mm] teilbar ist und das ist nicht schwer,vielleicht schaffst du es allein? (Geht ohne Induktion.)
Lg Walde
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Habe es hinbekommen!!!
Ist ja eigentlich gar nicht schwer... Aber man muss eben erst drauf kommen.
Vielen lieben Dank :)
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