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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Sitze zur Zeit an einer Aufgabe und komme absolut nicht weiter, keine Ahnung woran es liegt, normalerweise dürfte die Aufgabe nicht so schwer sein.
MAn Finde all n = N für die
[mm] 9^n [/mm] +1 durch 365 teilbar ist.
Bin gespannt auf eure Herangehensweise. mfg
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Zu prüfen ist für welche n [mm] 365 | 9^n+1 [/mm] oder anders formuliert wann [mm] 9^n \equiv 364 mod 365 [/mm]
Zuerst betrachtet man mal mod365 für kleine Werte von n:
[mm] p^1 \equiv 9 mod 365 [/mm]
[mm] p^2 \equiv 81 mod 365 [/mm]
[mm] p^3 \equiv 364 mod 365 [/mm] !!!!!!!!!!!!!!!!!!
[mm] p^4 \equiv 356 mod 365 [/mm]
[mm] p^5 \equiv 284 mod 365 [/mm]
[mm] p^6 \equiv 1 mod 365 [/mm]
[mm] p^7 \equiv 9 mod 365 [/mm]
Es scheint also als ob sich die Reste periodisch (9;81;364;356;284;1) verändern. Überprüfen wir dies (eigentlich trivial):
Die angebliche Periode hat eine länge von 6 Resten.
Daher müsste wenn eine solche Periode existiert [mm]9^{n+6}-9^n \equiv 0 mod 365 [/mm] , was offentsichtlich nach [mm] 9^{n+6}-9^n =9^n(9^6-1)=9^n*1456*365 [/mm]
[mm] 365 | 9^n+1 [/mm] gilt also nur für [mm] n=3+6k [/mm][mm]|k \in N [/mm]
Gruß Samuel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
sorry Schreibfehler
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> [mm]p^1 \equiv 9 mod 365[/mm]
> [mm]p^2 \equiv 81 mod 365[/mm]
> [mm]p^3 \equiv 364 mod 365[/mm] !!!!!!!!!!
> [mm]p^4 \equiv 356 mod 365[/mm]
> [mm]p^5 \equiv 284 mod 365[/mm]
> [mm]p^6 \equiv 1 mod 365[/mm]
>
> [mm]p^7 \equiv 9 mod 365[/mm]
>
Das muss natürlich 9 statt p heißen (also [mm]9^1 \equiv 9 mod 365 ; 9^2 \equiv 81 mod 365...[/mm])!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mi 15.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo und vielen Dank für deinen Lösungsweg.
Ich verstehe deinen Beweis eigentlich ziemlich gut, du stellst die Vermutung einer Periode auf, die du dann beweist, jedoch verstehe ich nicht wie du auf diesen Ausdruck kommst. Kannst du das bitte ein wenig erläutern?
[mm]9^{n+6}-9^n \equiv 0 mod 365 [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Es ist eigentlich ganz simpel:
Wenn es eine solche Periode aus 6 verschiedenen Resten gibt, ist jeder 7. Rest gleich bzw. der Rest von einem beliebeigen n und und (n+6).
Ist nun [mm]9^n\equiv x mod 365[/mm]müsste auch [mm]9^{n+6}\equiv x mod 365[/mm] und somit wäre [mm]9^{n+6}-9^n \equiv x-x \equiv 0 mod 365[/mm].
Gruß Samuel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Zwieback!
Man kann die Periodizität auch ein wenig anders herleiten, was ich dir sehr gerne ans Herz legen möchte, da ich es für wichtig halte, auch die "normalen" Wege zu kennen:
http://www.Hanno-Becker.de/Beweise2.pdf
Seite 19.
Anmerkung:
Das Ende ist nicht ganz richtig so. Nastürlich ist schon $n=3$ eine Lösung, und das Endergebnis muss natürlich das gleiche die von Tubby sein, nömlich:
Für alle [mm] $n=3+6\cdot [/mm] k$ ist ist [mm] $9^n+1$ [/mm] durch $365$ teilbar.
Gruß,
Hanno
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> Anmerkung:
> Das Ende ist nicht ganz richtig so.
?????????????????????
Könntest du mir bitte erklären, was deiner Meinung nach da nicht stimmt, oder unvollstädig ist?
> [mm]n=3[/mm] eine Lösung, und das Endergebnis muss natürlich das
> gleiche die von Tubby sein, nömlich:
> Für alle [mm]n=3+6\cdot k[/mm] ist ist [mm]9^n+1[/mm] durch [mm]365[/mm] teilbar.
>
Meine Lösung stimmt auf jeden Fall! :)
Gruß Samuel
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Hallo Teletubby, Hanno meint, das Ende seiner Überlegungen auf seiner HOmepage ist nicht ganz richtig so. mfg
Kannst du mir bitte noch auf meine Frage s.o. antworten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Mi 15.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Wenn das soo ist, hab ich halt was falsch verstanden...
Was deine Frage angeht hab ich dir schon geantwortet (als Mitteilung direkt unter deiner Frage).
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