Teilbarkeit von Potenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm] \in \IN):
[/mm]
i) [mm] a^{n}|b^{n} \Rightarrow [/mm] a|b
ii) [mm] n^{n}|m^{m} \Rightarrow [/mm] n|m
iii) [mm] a^{n}|2b^{n}, [/mm] n>1 [mm] \Rightarrow [/mm] a|b
iv) (a,b)=1 und [mm] ab=c^{n} \Rightarrow [/mm] es gibt x,y [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a=x^{n}, b=y^{n} [/mm] |
Hallöchen,
ich habe ein kleines Denkproblem wie anfangen:
Also meine Intuition hat mir bei i) gesagt das es trivial wäre denn:
[mm] a^{n}|b^{n} \Rightarrow \bruch{b^{n}}{a^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}*...* \bruch{b}{a}=(\bruch{b}{a})^{n} \Rightarrow [/mm] a|b
aber das kann ja irgendwie nicht stimmen denn die Definition von a|b besagt ja das ein c gibt so dass ca=b
aber wie kann ich das in den Beweis einbinden? Sieht jemand meinen Denkfehler?
LG Schmetterfee
EDIT: oder geht es gar so leicht:
[mm] a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n}c=b^{n}
[/mm]
wenn ich nun die n-te Wurzel ziehe erhalte ich:
a [mm] \wurzel[n]{c}=b [/mm] und somit a|b
wäre dies denn so korrekt?
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Hallo Schmetterfee,
> Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm]\in \IN):[/mm]
> i) [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> ii) [mm]n^{n}|m^{m} \Rightarrow[/mm] n|m
> iii) [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm] n>1 [mm]\Rightarrow[/mm] a|b
> iv) (a,b)=1 und [mm]ab=c^{n} \Rightarrow[/mm] es gibt x,y [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]a=x^{n}, b=y^{n}[/mm]
>
> EDIT: oder geht es gar so leicht:
> [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n}c=b^{n}[/mm]
>
> wenn ich nun die n-te Wurzel ziehe erhalte ich:
> a [mm]\wurzel[n]{c}=b[/mm] und somit a|b
>
> wäre dies denn so korrekt?
Du müsstest noch zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{c}\in\IN. [/mm] Das ist aber nicht schwer, da auf beiden Seiten der Gleichung [mm] a^{n}c=b^{n} [/mm] Primfaktoren mit durch n teilbarer Potenz vorkommen müssen.
LG
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Hallöchen
> > Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm]\in \IN):[/mm]
> > i)
> [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> > ii) [mm]n^{n}|m^{m} \Rightarrow[/mm] n|m
> > iii) [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm] n>1 [mm]\Rightarrow[/mm] a|b
> > iv) (a,b)=1 und [mm]ab=c^{n} \Rightarrow[/mm] es gibt x,y [mm]\in \IN[/mm]
> > mit [mm]a=x^{n}, b=y^{n}[/mm]
> >
>
> > EDIT: oder geht es gar so leicht:
> > [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n}c=b^{n}[/mm]
> >
> > wenn ich nun die n-te Wurzel ziehe erhalte ich:
> > a [mm]\wurzel[n]{c}=b[/mm] und somit a|b
> >
> > wäre dies denn so korrekt?
> Du müsstest noch zeigen, dass [mm]\wurzel[n]{c}\in\IN.[/mm] Das ist
> aber nicht schwer, da auf beiden Seiten der Gleichung
> [mm]a^{n}c=b^{n}[/mm] Primfaktoren mit durch n teilbarer Potenz
> vorkommen müssen.
>
Wieso müsste ich zeigen, dass c [mm] \in \IN? [/mm] Das c war vll ungünstig gewählt denn es könnte auch d sein. Wir hatten in der Vorlesung den Satz a,b [mm] \in \IR. [/mm] a|b [mm] \gdw \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] so dass ac=b.
Muss ich denn trotzdem noch zeigen, dass c [mm] \in \IN [/mm] ist? war vll ungünstig gewählt nur intuitiv da in der Vorlesung so verwendet.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Schmetterfee,
> Hallöchen
> > > Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm]\in \IN):[/mm]
> > > i)
> > [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> > > ii) [mm]n^{n}|m^{m} \Rightarrow[/mm] n|m
> > > iii) [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm] n>1 [mm]\Rightarrow[/mm] a|b
> > > iv) (a,b)=1 und [mm]ab=c^{n} \Rightarrow[/mm] es gibt x,y [mm]\in \IN[/mm]
> > > mit [mm]a=x^{n}, b=y^{n}[/mm]
> > >
> >
> > > EDIT: oder geht es gar so leicht:
> > > [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n}c=b^{n}[/mm]
> > >
> > > wenn ich nun die n-te Wurzel ziehe erhalte ich:
> > > a [mm]\wurzel[n]{c}=b[/mm] und somit a|b
> > >
> > > wäre dies denn so korrekt?
> > Du müsstest noch zeigen, dass [mm]\wurzel[n]{c}\in\IN.[/mm] Das ist
> > aber nicht schwer, da auf beiden Seiten der Gleichung
> > [mm]a^{n}c=b^{n}[/mm] Primfaktoren mit durch n teilbarer Potenz
> > vorkommen müssen.
> >
> Wieso müsste ich zeigen, dass c [mm]\in \IN?[/mm] Das c war vll
> ungünstig gewählt denn es könnte auch d sein. Wir
> hatten in der Vorlesung den Satz a,b [mm]\in \IR.[/mm] a|b [mm]\gdw \exists[/mm]
> c [mm]\in \IR[/mm] so dass ac=b.
> Muss ich denn trotzdem noch zeigen, dass c [mm]\in \IN[/mm] ist?
> war vll ungünstig gewählt nur intuitiv da in der
> Vorlesung so verwendet.
Ich bezweifle, dass ihr die Teilbarkeit so definiert habt. Mit dem [mm]c\in\mathbb R[/mm] würde ja z.B. auch gelten: [mm]5\ |\ 8[/mm], denn mit [mm]c=1,6[/mm] gilt [mm]c*5=8[/mm].
[mm]\Rightarrow[/mm] Das [mm]c[/mm] in der Definition muss schon aus [mm]\mathbb N[/mm] sein.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallöchen
> > > > Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm]\in \IN):[/mm]
> > >
> > i)
> > > [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> > > > ii) [mm]n^{n}|m^{m} \Rightarrow[/mm] n|m
> > > > iii) [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm] n>1 [mm]\Rightarrow[/mm] a|b
> > > > iv) (a,b)=1 und [mm]ab=c^{n} \Rightarrow[/mm] es gibt x,y
> [mm]\in \IN[/mm]
> > > > mit [mm]a=x^{n}, b=y^{n}[/mm]
> > > >
> > >
> > > > EDIT: oder geht es gar so leicht:
> > > > [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n}c=b^{n}[/mm]
> > > >
> > > > wenn ich nun die n-te Wurzel ziehe erhalte ich:
> > > > a [mm]\wurzel[n]{c}=b[/mm] und somit a|b
> > > >
> > > > wäre dies denn so korrekt?
> > > Du müsstest noch zeigen, dass [mm]\wurzel[n]{c}\in\IN.[/mm] Das ist
> > > aber nicht schwer, da auf beiden Seiten der Gleichung
> > > [mm]a^{n}c=b^{n}[/mm] Primfaktoren mit durch n teilbarer Potenz
> > > vorkommen müssen.
> > >
> > Wieso müsste ich zeigen, dass c [mm]\in \IN?[/mm] Das c war vll
> > ungünstig gewählt denn es könnte auch d sein. Wir
> > hatten in der Vorlesung den Satz a,b [mm]\in \IR.[/mm] a|b [mm]\gdw \exists[/mm]
> > c [mm]\in \IR[/mm] so dass ac=b.
> > Muss ich denn trotzdem noch zeigen, dass c [mm]\in \IN[/mm] ist?
> > war vll ungünstig gewählt nur intuitiv da in der
> > Vorlesung so verwendet.
>
> Ich bezweifle, dass ihr die Teilbarkeit so definiert habt.
> Mit dem [mm]c\in\mathbb R[/mm] würde ja z.B. auch gelten: [mm]5\ |\ 8[/mm],
> denn mit [mm]c=1,6[/mm] gilt [mm]c*5=8[/mm].
> [mm]\Rightarrow[/mm] Das [mm]c[/mm] in der Definition muss schon aus [mm]\mathbb N[/mm]
> sein.
>
Stimmt da muss ich micht aber gekonnt beim abschreiben verschrieben haben mir ist aber auc schon klar warum.
Aber wie zeige ich denn dass [mm] \wurzel[n]{c} \in \In [/mm] ist mir gelingt nur ein Ringschluss und der ist nicht hilfreich. ich würde einfach
[mm] a^{n}\wurzel[n]{c}= b^{n}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{c} [/mm] = [mm] \bruch{b^{n}}{a^{n}}= \bruch{b}{a}^{n} [/mm] nutzen aber an dieser Stelle bräuchte ich ja das Wissen das b durch a teilbar ist aber das will ich ja gerade zeigen wie kann ich das denn anders machen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Aber wie zeige ich denn dass [mm]\wurzel[n]{c} \in \In[/mm] ist mir
> gelingt nur ein Ringschluss und der ist nicht hilfreich.
> ich würde einfach
> [mm]a^{n}\wurzel[n]{c}= b^{n}[/mm]
> [mm]\wurzel[n]{c}[/mm] =
> [mm]\bruch{b^{n}}{a^{n}}= \bruch{b}{a}^{n}[/mm] nutzen aber an
> dieser Stelle bräuchte ich ja das Wissen das b durch a
> teilbar ist aber das will ich ja gerade zeigen wie kann ich
> das denn anders machen?
Kamelonti hat dir ja schon einen Tipp gegeben:
[mm]c*a^n=b^n\ \Leftrightarrow\ c*\underbrace{a*a*\ldots *a}_{n-mal}=\underbrace{b*b*\ldots *b}_{n-mal}[/mm]
Argumentiere mit Primfaktoren, dass es dann ein [mm]d\in\mathbb N[/mm] gibt mit [mm]c=d^n[/mm] und [mm]d*a=b[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallöchen
>
> > Aber wie zeige ich denn dass [mm]\wurzel[n]{c} \in \In[/mm] ist mir
> > gelingt nur ein Ringschluss und der ist nicht hilfreich.
> > ich würde einfach
> > [mm]a^{n}\wurzel[n]{c}= b^{n}[/mm]
> > [mm]\wurzel[n]{c}[/mm] =
> > [mm]\bruch{b^{n}}{a^{n}}= \bruch{b}{a}^{n}[/mm] nutzen aber an
> > dieser Stelle bräuchte ich ja das Wissen das b durch a
> > teilbar ist aber das will ich ja gerade zeigen wie kann ich
> > das denn anders machen?
>
> Kamelonti hat dir ja schon einen Tipp gegeben:
> [mm]c*a^n=b^n\ \Leftrightarrow\ c*\underbrace{a*a*\ldots *a}_{n-mal}=\underbrace{b*b*\ldots *b}_{n-mal}[/mm]
>
> Argumentiere mit Primfaktoren, dass es dann ein [mm]d\in\mathbb N[/mm]
> gibt mit [mm]c=d^n[/mm] und [mm]d*a=b[/mm].
>
>
Ja soweit steht das ja schon auf meinem Blatt aber ich weiß nicht wie ich dann argumentieren kann dass [mm] c=d^{n}...was [/mm] hat das denn mit Primfaktoren zu tun?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
nun, wenn du a und b in Primfaktoren zerlegst, müssen diese auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. Wenn jetzt [mm]a\neq b[/mm] gilt, sind diese erstmal unterschiedlich: [mm]c*(p*q)(p*q)\ldots(p*q) =(p*q*r)(p*q*r)\ldots(p*q*r)[/mm] (das ist jetzt natürlich nur ein Beispiel für $a=pq$, $b=pqr$)
Damit die Gleichung stimmt, muss gelten [mm] $c=r^n$, [/mm] wobei $r$ nicht unbedingt prim sein muss.
Ich denke, es reicht, wenn du das in einem schönen Satz formulierst.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallöchen,
okay das habe ich soweit verstanden.
Wie mache ich das denn beispielsweise für [mm] a^{n}|2b^{n}, [/mm] n>1
Da würde ich dann ja auch wieder erhalten:
[mm] a^{n}*c=2b^{n}
[/mm]
a [mm] \wurzel[n]{c}=\wurzel[n]{2} [/mm] b
a [mm] \bruch{\wurzel[n]{c}}{\wurzel[n]{2}}=b [/mm]
a [mm] \wurzel[n]{\bruch{c}{2}}=b
[/mm]
Und [mm] \wurzel[n]{\bruch{c}{2}} [/mm] wäre dann ja beispielswiese aufs Beispiel a=pq und b=rpq bezogen gesehn c= [mm] \wurzel[n]{2}r [/mm] und das wäre ja dann nicht [mm] \in \IN. [/mm] Hätte ich damit dann die Implikation [mm] a^{n}|2b^{n} \Rightarrow [/mm] a|b bereits ausreichend wiederlegt?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 23.10.2011 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallöchen,
>
> okay das habe ich soweit verstanden.
>
> Wie mache ich das denn beispielsweise für [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm]
> n>1
>
> Da würde ich dann ja auch wieder erhalten:
>
> [mm]a^{n}*c=2b^{n}[/mm]
> a [mm]\wurzel[n]{c}=\wurzel[n]{2}[/mm] b
> a [mm]\bruch{\wurzel[n]{c}}{\wurzel[n]{2}}=b[/mm]
> a [mm]\wurzel[n]{\bruch{c}{2}}=b[/mm]
>
> Und [mm]\wurzel[n]{\bruch{c}{2}}[/mm] wäre dann ja beispielswiese
> aufs Beispiel a=pq und b=rpq bezogen gesehn c=
> [mm]\wurzel[n]{2}r[/mm] und das wäre ja dann nicht [mm]\in \IN.[/mm] Hätte
> ich damit dann die Implikation [mm]a^{n}|2b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> bereits ausreichend wiederlegt?
>
> LG Schmetterfee
Für a>1 ist der erste Schritt hier [mm]a^n|b^n[/mm]. Dann bist du wieder beim ersten Fall. Wenn [mm]a=1[/mm], dann ist a eine Einheit und damit auch der Fall geklärt.
LG Micha
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Hallöchen
> >
> > Wie mache ich das denn beispielsweise für [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm]
> > n>1
> >
> > Da würde ich dann ja auch wieder erhalten:
> >
> > [mm]a^{n}*c=2b^{n}[/mm]
> > a [mm]\wurzel[n]{c}=\wurzel[n]{2}[/mm] b
> > a [mm]\bruch{\wurzel[n]{c}}{\wurzel[n]{2}}=b[/mm]
> > a [mm]\wurzel[n]{\bruch{c}{2}}=b[/mm]
> >
> > Und [mm]\wurzel[n]{\bruch{c}{2}}[/mm] wäre dann ja beispielswiese
> > aufs Beispiel a=pq und b=rpq bezogen gesehn c=
> > [mm]\wurzel[n]{2}r[/mm] und das wäre ja dann nicht [mm]\in \IN.[/mm] Hätte
> > ich damit dann die Implikation [mm]a^{n}|2b^{n} \Rightarrow[/mm] a|b
> > bereits ausreichend wiederlegt?
> >
> > LG Schmetterfee
> Für a>1 ist der erste Schritt hier [mm]a^n|b^n[/mm].
Das verstehe ich nicht wie kommt man darauf? Wieso sollte aus [mm] a^{n}|2b^{n} [/mm] für a>1 folgen das [mm] a^{n}|b^{n}?
[/mm]
> Dann bist du
> wieder beim ersten Fall. Wenn [mm]a=1[/mm], dann ist a eine Einheit
> und damit auch der Fall geklärt.
>
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 24.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn gilt x|y dann folgt natürlich x|a*y
ist bei IV keine weitere Vors. dann hast du ein x,y immer mit x=1,y=c
hast du I jetzt richtig?
gruss leduart
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Hallöchen
> wenn gilt x|y dann folgt natürlich x|a*y
ja das ist mir bewusst.
> ist bei IV keine weitere Vors. dann hast du ein x,y immer
> mit x=1,y=c
Nein mehr Voraussetzungen habe ich nicht
> hast du I jetzt richtig?
Naja richtig eher nicht. Ich habe es soweit verstanden und kann es an einem Beispiel erklären aber nicht konkret beweisen.
Das war ja so:
[mm] a^{n}|b^{n} \Rightarrow a^{n} c=b^{n}
[/mm]
a [mm] \wurzel[n]{c}=b [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a|b
Nun musste ich noch zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{c}\in \IN [/mm] ist. Das gelingt mir aber nicht.
Mir ist aber anschaulich klar, dass wenn ich bsp a in Primfaktoren cd und b in Primfaktoren cde zerlgen dann würde ich ja erhalten:
c [mm] (de)^{n}=(def)^{n}
[/mm]
und daraus könnte ich dann folgern dass [mm] c=f^{n} [/mm] ist und somit wäre die n-Te Wurzel dann auch eine natüliche Zahl. Das is aber nun nicht formal genug aber besser bekomme ich das nicht hin.
Ich verstehe aber imm noch nicht wie ich
[mm] a^{n}|2b^{n} [/mm] zeigen kann. Ich kann ja nicht einfach sagen dass es einfach aus i folgt.
bin noch etwas verzweifelt bei der Aufgabe
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 26.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallöchen
> Beweise oder widerlege (a,b,c,m,n [mm]\in \IN):[/mm]
> i) [mm]a^{n}|b^{n} \Rightarrow[/mm]
> a|b
> ii) [mm]n^{n}|m^{m} \Rightarrow[/mm] n|m
> iii) [mm]a^{n}|2b^{n},[/mm] n>1 [mm]\Rightarrow[/mm] a|b
> iv) (a,b)=1 und [mm]ab=c^{n} \Rightarrow[/mm] es gibt x,y [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]a=x^{n}, b=y^{n}[/mm]
>
Also der Aufgabenteil (iv) macht mir auch noch Probleme. ich weiß nur nicht so ganz wie ich das folgern so:
aus ggT(a,b)= 1 könnte ich ja folgern das es r,s [mm] \in \IN [/mm] gibt mit 1=ra+sb aber das bringt mich ja auch nicht unbedingt weiter.
Denn das die Aussage stimmt ist ja trivial. Denn es gilt ja [mm] c^{n}=ab=(xy)^{n}=x^{n}y^{n}
[/mm]
aber ich finde keinen Weg das formal aus irgendwas zu folgern.
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
bei Aufgabe iv) kannst Du doch die Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung benutzen.
Grüße
reverend
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Hallöchen
>
> bei Aufgabe iv) kannst Du doch die Eindeutigkeit der
> Primfaktorenzerlegung benutzen.
>
Ja stimmt die habe ich ja auch noch
Kann ich dann einfach folgern, dass aus (a,b)=1 folgt dass die beiden Zahlen Teilerfremd sind, d.h. [mm] c^{n} [/mm] zerfällt in primfaktoren. Da die Darstellung eines Elementes durch seine Primfaktoren eindeutig ist, und mit hilfe von Potenzgesetzen folgt dass es für [mm] c^{n}=(a,b) [/mm] x,y [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] c^{n}=(xy)^{n}=x^{n}y^{n}
[/mm]
aber irgendwie ist da noch der Wurm drin:-(
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 24.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob du zeigst [mm] c^n=(xy)^n [/mm] oder [mm] x^n*y^n [/mm] ist egal. also zeig eines von beiden. es bleibt mein Einwand die triviale Lösung x=1 y=c
in deinem "Beweis" benutzest du nicht ggT(a,b)=1 ist IV wirklich vollstandig abgeschrieben?
Gruss leduart
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Hallöchen
> ob du zeigst [mm]c^n=(xy)^n[/mm] oder [mm]x^n*y^n[/mm] ist egal. also zeig
> eines von beiden. es bleibt mein Einwand die triviale
> Lösung x=1 y=c
> in deinem "Beweis" benutzest du nicht ggT(a,b)=1 ist IV
> wirklich vollstandig abgeschrieben?
Mehr Voraussetzungen habe ich für iv) wirklich nicht und deshalb verstehe ich deinen Einwand was mir worher nicht wirklich bewusst war.
Ist mein "Beweisversuch" denn so noch nicht in Ordnung?
Ich habe ja (a,b)=1. d.h. weder a teilt b noch teilt b a.
Des Weiteren weiß ich das [mm] c^{n}=(ab)
[/mm]
Nun weiß ich das a und b teilerfremd sind, d.h. [mm] c^{n} [/mm] zerfällt in seine Primfaktoren. Da die Primfaktorzerlegung für jedes Element eindeutig ist gibt es x und y mit [mm] x^{n}y^{n}=(xy)^{n}=(ab)=c^{n}
[/mm]
passt es denn so von der Abfolge nicht?
Ich müsste natürlich deinen Einwand in den Beweis mit einbringen aber sonst müsste das doch passen oder?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 24.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke du solltest das nicht so allgemein schreiben sondern [mm] a^n|b^n [/mm] wenn
[mm] a^n=[/mm] [mm]\produkt_{i=1}^{l} p_i^{kn}[/mm] entsprechend [mm] b^n=[/mm] [mm]\produkt_{i=1}^{m} p_i^{kn}[/mm] mt [mm] m\ge [/mm] n
dann kannst du besser argumentieren und nicht so ungenau reden.
entsprechend bei 4
Gruss leduart
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