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| Aufgabe | | Seien R>0, [mm] z_{0} \in \IC [/mm] und sei f: { [mm] z\in\IC; |z-z_{0}| |
Hallihallo,
ich bin immernoch Klausuraufgaben am Ausprobieren und stehe bei dieser Aufgabe irgendwie total auf dem Schlauch. Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass die Polstellenordnung von dem einen ein Teiler der Polstellenordnung des anderen ist. Kann mir jemand helfen? Ich danke euch schon mal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien $R>0$, [mm]z_{0} \in \IC[/mm] und sei [mm]f: \{ z\in\IC; |z-z_{0}|
> (holomorph in [mm]\IC[/mm] ohne [mm]f(z_{0}))[/mm] eine Polstelle in
> [mm]f(z_{0}),[/mm] so hat $g [mm] \circ [/mm] f$ einen Pol in [mm]z_{0}[/mm] und die
> Polstellenordnung von g in [mm]f(z_{0})[/mm] ist ein Teiler der
> Polstellenordnung von $g [mm] \circ [/mm] f$ in [mm]z_{0}.[/mm]
> Hallihallo,
> ich bin immernoch Klausuraufgaben am Ausprobieren und
> stehe bei dieser Aufgabe irgendwie total auf dem Schlauch.
> Ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass die
> Polstellenordnung von dem einen ein Teiler der
> Polstellenordnung des anderen ist. Kann mir jemand helfen?
Tipp: f besitzt in [mm] $z=z_0$ [/mm] eine Potenzreihenentwicklung mit Konvergenzradius R; g besitzt in [mm] $f(z_0)$ [/mm] eine Laurententwicklung mit endlichem Hauptteil. Setze beide ineinander ein und bestimmte das erste Glied der entstehenden Laurentreihe.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe das ganze jetzt mal aufgeschrieben:
f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n
[/mm]
g(z)= [mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k} (z-f(z_{0}))^k
[/mm]
g(f(z))= [mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k} (\summe_{n=0}^{\infty}a_{n} (z-z_{0})^n-f(z_{0}))^k.
[/mm]
Nun wenn ich jetzt den ersten Summanden bestimme, kann ich daran aber nicht wirklich was ablesen. Ist irgendwo ein Fehler?
Und irgendwo muss man ja auch noch benutzen, dass [mm] (z-z_{0}) [/mm] kleiner als R ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich würde das ganz anders machen: zunächst allgemein.
Sei D offen , [mm] z_0 \in [/mm] D und f holomorph auf D \ { [mm] z_0 [/mm] }. f hat in [mm] z_o [/mm] einen Pol der Ordnung p [mm] \gdw [/mm] es ex. eine auf D holomorphe Funktion h mit
(1) $f(z)= [mm] \bruch{h(z)}{(z-z_0)^p}$ [/mm] für z [mm] \in [/mm] D \ { [mm] z_0 [/mm] } und [mm] h(z_0) \ne [/mm] 0
Zur Aufgabe: Sei [mm] f(z_0) [/mm] ein p -facher Pol von g. Nach obigem ex. eine ganze Funktion h mit
$ g(z)= [mm] \bruch{h(z)}{(z-f(z_0))^p}$ [/mm] für z [mm] \ne f(z_0) [/mm] und [mm] h(f(z_0)) \ne [/mm] 0
Dann ist
(2) $ g(f(z))= [mm] \bruch{h(f(z))}{(f(z)-f(z_0))^p}$ [/mm]
Die Funktion z [mm] \to f(z)-f(z_0) [/mm] hat in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle, sagen wir der Ordnung q
Nutze dies aus, trage es in (2) ein und verwende (1)
FRED
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Also ich verstehe deine Argumentation, aber wenn du das f(z) jetzt einfach in das g(z) einsetzt, dann bleibt doch normalerweise die Polstellenordnung gleich. Dann bringt es ja auch nicht zu argumentieren, dass [mm] f(z)-f(z_{0}) [/mm] Nullstellen der Ordnung q haben, sondern:
es könnte ja noch sein, dass h(f(z)) Polstellen in zo besitzt und die muss man ja dann wiederrum so abspalten, wie wir es mit g gemacht haben, also dass es praktisch eine holomorphe Funktion [mm] \gamma [/mm] gibt mit g(f(z))= [mm] \bruch{\gamma (f(z))}{(f(z)-f(z_{0}))^q}. [/mm] Und dann muss zwangsläufig ja die Polstellenordnung von g kleiner sein als die von g(f(z)).
Vielleicht is das auch das glecihe, was du meintest ;). Stimmt das denn so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Sa 17.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich verstehe deine Argumentation, aber wenn du das
> f(z) jetzt einfach in das g(z) einsetzt, dann bleibt doch
> normalerweise die Polstellenordnung gleich.
Nein, das ist nicht richtig. Nimm dir ein einfaches Beispiel:
[mm] z_0 = 0 [/mm], [mm] f(z) = z^2[/mm], [mm]g(z) = \bruch{1}{z^3} [/mm].
g hat in [mm] $f(z_0)$ [/mm] einen Pol 3. Ordnung. Welche Ordnung hat der Pol von [mm] $g\circ [/mm] f$ ?
> Dann bringt es
> ja auch nicht zu argumentieren, dass [mm]f(z)-f(z_{0})[/mm]
> Nullstellen der Ordnung q haben, sondern:
> es könnte ja noch sein, dass h(f(z)) Polstellen in zo
> besitzt
Nein, das kann nicht sein, denn h ist eine ganze Funktion und f ist seinem Definitionsbereich holomorph. Also ist auch [mm] $h\circ [/mm] f$ holomorph und hat keinen Pol.
Viele Grüße
Rainer
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Aber, wenn du das doch dann einsetzt, dann bleibt doch die Potenz vom Nenner eigentlich gleich? das is irgendwie der Punkt, den ich nicht naxhvollziehen kann... weil du setzt für z f(z) ein und änderst dann die Potenz im Nenner, warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 18.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber, wenn du das doch dann einsetzt, dann bleibt doch die
> Potenz vom Nenner eigentlich gleich? das is irgendwie der
> Punkt, den ich nicht naxhvollziehen kann... weil du setzt
> für z f(z) ein und änderst dann die Potenz im Nenner,
> warum?
Hast du dir denn nicht das Beispiel aus meinem letzten Posting angeschaut?
Viele Grüße
Rainer
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Dooch, und mir ist auch klar, dass es sich da verändert, also dass die Polstellenordnung nicht gleichbleibt. Ich verstehe aber nicht, wie man das korrekt hinschreibt, also wenn man f(z) in g(z) einsetzt, dann kann man ja nicht einfach unten die Potenz erhöhen ;) weißt du, was ich mein? Wahrscheinlich drück ich mich etwas umständlich aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 18.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dooch, und mir ist auch klar, dass es sich da verändert,
> also dass die Polstellenordnung nicht gleichbleibt. Ich
> verstehe aber nicht, wie man das korrekt hinschreibt, also
> wenn man f(z) in g(z) einsetzt, dann kann man ja nicht
> einfach unten die Potenz erhöhen ;) weißt du, was ich
> mein? Wahrscheinlich drück ich mich etwas umständlich
> aus.
Zum Beispiel so: wenn eine holomorphe Funktion f eine Nullstelle n-ter Ordnung in [mm] $z_0$ [/mm] hat, dann kannst du in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] schreiben:
[mm] f(z)-f(z_0) = (z-z_0)^n * r(z) [/mm],
wobei r holomorph ist und [mm] $r(z_0)\not=0$.
[/mm]
Jetzt Einsetzen....
Viele Grüße
Rainer
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