Teilerfremdheit zeigen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Mi 13.01.2010 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Setzt man für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit m > n und ggT (m; n) = 1 und m > n. Außerdem ist m-n eine ungerade Zahl,
x := [mm] m^2 [/mm] - [mm] n^2; [/mm] y = 2mn; z = [mm] m^2 [/mm] + [mm] n^2;
[/mm]
dann ist (x; y; z) ein teilerfremdes pythagoräisches Tripel. Beweisen Sie
dies und geben Sie mindestens 5 solcher Tripel an. (x; y; z [mm] \in \IN [/mm] heißen
pythagoräisches Tripel wenn gilt [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] z^2.) [/mm] |
Hey,
zu der Aufgabe habe ich nur eine Teilfrage:
Wie lässt sich die Teilerfremdheit von x und z zeigen. x,y und y,z habe ich über einen widerspruch hinbekommen da in y eine 2 enthalten ist. (wenn wer den beweis braucht sagt bescheid). der nachweiß das es tripel sind ist auch einfach.
nur leider fällt mir seid 2 stunden absolut nicht auf/ein, woraus die teilerfremdheit von x und z folgt.
mein anfang:
angenommen [mm] x:=m^2-n^2 [/mm] und [mm] z:=m^2+n^2 [/mm] (mit bed. wie oben) sind nicht teilerfremd
dann [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] und a,b [mm] \not= [/mm] 0 so dass gilt: [mm] \bruch{a}{b}*x=z.
[/mm]
==> [mm] \bruch{a}{b} [/mm] * [mm] m^2-n^2 [/mm] = [mm] m^2+n^2.
[/mm]
egal wie ich ab hier weiterbastel ich komme einfach auf nix.
ich bin für jeden vorschlag dankbar.
dank im vorraus, die Maxi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Di 19.01.2010 | | Autor: | maxi85 |
Weitere Frage:
Da ich mit dem Beweis, dass x und z teilerfremd bin nicht zurandekomme. Folgt das evt. daraus, dass x,y und y,z teilerfremd sind?
dank im vorraus, die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Setzt man für m,n [mm]\in \IN[/mm] mit m > n und ggT (m; n) = 1 und
> m > n ist
> eine ungerade Zahl,
> x := [mm]m^2[/mm] - [mm]n^2;[/mm] y = 2mn; z = [mm]m^2[/mm] + [mm]n^2;[/mm]
> dann ist (x; y; z) ein teilerfremdes pythagoräisches
> Tripel. Beweisen Sie
> dies und geben Sie mindestens 5 solcher Tripel an. (x; y;
> z [mm]\in \IN[/mm] heißen
> pythagoräisches Tripel wenn gilt [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]z^2.)[/mm]
Irgendwas ist doch da faul - wenn n auch ungerade ist, sind x, y, z alle gerade.
> Wie lässt sich die Teilerfremdheit von x und z zeigen.
Sei t ein Teiler von x und z, dann teilt t [m]x+z=2m^2[/m] und [m]x-z=-2n^2[/m]. Wenn man [m]t=2[/m] ausschließen kann, folgt die Teilefrmedheit aus [m]ggT(m,n)=1[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Sa 23.01.2010 | | Autor: | maxi85 |
Hey, hast recht. evt. hat deswegen keiner was geschrieben. hab die aufgabe nochmal berichtigt. also nicht n is ungerade sondern (m-n) ist ungerade.
das habe ich auch für die anderen sachen per fallunterscheidung benutzt. nur für die frage hier bringt das nix...
z.Z.: [mm] x:=m^2-n^2 [/mm] und [mm] y:=m^2+n^2 [/mm] sind teilerfremd
m-n ungerade <=> 1. (m ungerade und n gerade) oder 2. (n gerade und m ungerade)
1. fall:
=> [mm] m^2 [/mm] ungerade, [mm] n^2 [/mm] gerade.
=> [mm] m^2+n^2 [/mm] ist ungerade und [mm] m^2-n^2 [/mm] ist ungerade.
2. fall:
gleiche folgerung wie oben...
das bringt doch aber nich weiter... gerade und ungerade würde helfen, aber so?!
so long, die maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hey, hast recht. evt. hat deswegen keiner was geschrieben.
> hab die aufgabe nochmal berichtigt. also nicht n is
> ungerade sondern (m-n) ist ungerade.
Macht mehr Sinn, ja.
> 1. fall:
>
> => [mm]m^2[/mm] ungerade, [mm]n^2[/mm] gerade.
> => [mm]m^2+n^2[/mm] ist ungerade und [mm]m^2-n^2[/mm] ist ungerade.
>
> 2. fall:
>
> gleiche folgerung wie oben...
Ja, sehr gut würde ich sagen.
> das bringt doch aber nich weiter... gerade und ungerade
> würde helfen, aber so?!
Beide ungerade ist perfekt - hast du meine Antwort denn komplett gelesen? Da brauche ich ja, dass min. eine der Faktoren ungerade ist. Wenn das aber gegeben ist, dann führt man das auf [m]ggT(m,n)=1[/m] zurück ... wie? Summe und Differenz bilden - hab ich doch schon geschrieben!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Sa 23.01.2010 | | Autor: | maxi85 |
aaaahhhh,
ok habs mir nochmal durchgelesen. ist aber interessant, wusste gar nicht das man das auch auf diesem weg zeigen kann/darf.
danke dir, die maxi.
(die aufgabe hab ich zwar längst abgegeben, aber ich mag es nicht wenn noch fragezeichen im kopf bleiben)
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