Teilmenge endlich < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 23.11.2006 | | Autor: | BettiBoo |
| Aufgabe | | Eine Menge M heißt bekanntlich endlich, wenn M leer ist oder wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass M gleichmächtig zu der Menge $ [mm] \{k | k \in \IN, 1 \le k \le n \} [/mm] $ ist: Man zeige: Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich. |
Also die Induktion hab ich glaub ich schon, nur irgendwie habe ich keine Idee wie ich die Induktionsvoraussetzung schreiben kann....
IA: (n = 0) [mm] :\Rightarrow [/mm] A = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] Die einzige Teilmenge von M ist leer, also endlich.
IV: ?
IS: (n [mm] \to [/mm] n+1): Sei M = n + 1 und A [mm] \subset [/mm] M. Der Fall M = A ist trivial. Sonst gibt es ein a [mm] \in [/mm] A, was nicht in M ist. Dann ist A [mm] \subset [/mm] M*:= M ohne {a}, und M* = n. Daher muss A endlich sein.
Wäre auch dankbar über Feedback was diesen Beweis angeht. Vielen lieben Dank BettiBoo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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IV: Jede endliche Menge mit n Elementen hat nur endliche Teilmengen.
IS: Die Mächtigkeit von M sei n+1. Die Fälle A=M und [mm] A=\emptyset [/mm] sind klar. Sei also A eine echte nichtleere Teilmenge von M. Dann existiert ein [mm] a\inM\A=M^*.
[/mm]
Zeige: M^* hat die Mächtigkeit n.
Zeige: [mm] A\subseteqM^*
[/mm]
Dann ist A eine Teilmenge einer endlichen Menge mit n Elementen und nach Induktionsvoraussetzung selber endlich. qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 26.11.2006 | | Autor: | BettiBoo |
Ich verstehe das nicht ganz mit dem A dot bzw. M dot. Ist das dasselbe wie A* oder M*?
Muss ich die Mächtigkeit mit card (M) zeigen?
Was genau meinst du mit "zeige A dot"?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Sa 02.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Der Formeleditor hat wohl was durcheinander gebracht.
Sei A in M ein echte (d.h. [mm] A\not=M) [/mm] und nichtleere Teilmenge von M. M habe Mächtigkeit (n+1).
Dann gibt es ein [mm] m\inM, [/mm] für das gilt: [mm] m\not\inA.
[/mm]
Betrachte nun die Menge M* = M ohne m.
Zeige, dass M* die Mächtigkeit n hat.
Zeige, dass [mm] A\subsetM* [/mm] gilt.
Dann sagt die Induktionsvoraussetzung, dass die Teilmenge A der endlichen Menge M* von der Mächtigkeit n ebenfalls eine endliche Menge ist. Und genau das sollte für den Induktionsschluss gezeigt werden!
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