Tensorprodukt, assoziativ < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:45 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es seien [mm] V_1,V_2,V_3 [/mm] k-Vektorräume.
a) Zeigen Sie: die Abbildung
[mm] \phi [/mm] : [mm] (V_1 \otimes\ V_2) [/mm] x [mm] V_3 [/mm] -> [mm] V_1 \otimes\ V_2 \otimes\ V_3, [/mm]
( [mm] \summe(x_i\otimes\ y_i),z) [/mm] |-> [mm] \summe(x_i\otimes\ y_i \otimes\ [/mm] z)
ist wohldefiniert.
b) Zeigen Sie: Es existiert eine trilineare Abbildung
t: [mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] x [mm] V_3 [/mm] -> [mm] (V_1 \otimes\ V_2) \otimes\ V_3.
[/mm]
Tipp: Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] |-> [mm] (v_1\otimes\ v_2)\otimes\ v_3 [/mm] wohldefiniert und trilinear ist.
Oder benutzen Sie die universelle Eigenschaften der Tensorprodukte [mm] V_1 \otimes\ V_2 [/mm] sowie [mm] (V_1 \otimes\ V_2)\otimes\ V_3.
[/mm]
c) Zeigen Sie: der Raum [mm] (V_1 \otimes\ V_2)\otimes\ V_3 [/mm] erfüllt die universelle EIgenschaft des Tensorproduktes [mm] V_1 \otimes\ V_2\otimes\ V_3, [/mm] d.h. für jede trilineare Abbildung
[mm] \phi: V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] x [mm] V_3 [/mm] -> W in einen k-Vektorraum W existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm] \phi^- [/mm] : [mm] (V_1 \otimes V_2) \otimes V_3 [/mm] -> W, so dass das Diagramm
[mm] V_1 [/mm] x [mm] V_2 [/mm] x [mm] V_3 [/mm] -> W
......I...... I
...... [mm] (V_1 \otimes V_2) \otimes V_3 [/mm] kommutiert.
Folgern SIe, dass [mm] (V_1 \otimes V_2) \otimes V_3 [/mm] ~= [mm] V_1 \otimes V_2 \otimes V_3 [/mm] |
Hallo,
also wir haben vor kurzen mit dem Thema Tensorprodukt angefangen und ich versteh fast nur Bahnhof.. Das alles ist für mich noch ein riesen Rätsel.
Deswegen habe ich auch kaum einen Ansatz:
Ich kann mir allein unter z.B. [mm] v_1 \otimes v_2 [/mm] schon so wenig vorstellen kann..
Bei der a) muss ich doch zeigen dass [mm] sum(x_i\otimes\ y_i \otimes\ [/mm] z) überhaupt in [mm] V_1 \otimes\ V_2 \otimes\ V_3 [/mm] liegt, oder?
Aber WIE mache ich das? Wie kann ich mit [mm] \otimes [/mm] arbeiten? Ich verstehe es einfach nicht.
Die b) habe ich versucht mit dem ersten Tipp zu lösen.
Es gilt doch: [mm] (v_1 +v_1') \otimes v_2 [/mm] = [mm] v_1 \otimes v_2 [/mm] + [mm] v_1' \otimes v_2 [/mm] oder hab ich hier schon was falsch verstanden?
Damit könnte ich immerhin zeigen, dass die Abbildung trilinear ist
Aber bei der wohldefiniert weiß ich einfach nichts..genau wie in der a) schon
Da ich erst mal überhaupt etwas gebacken bekommen will, habe ich mich mit der c) noch gar nicht beschäftigt.
Ich fänd es echt toll wenn mir jemand helfen könnte in dieses Thema einzusteigen und es zu verstehen!!
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=105211&start=0&lps=764994#v764994
Das mache ich normal zwar nicht, aber so wenig habe ich echt noch nie verstanden. Ich habe es echt versucht selbst zu machen und muss das Blatt bis Mittwoch schon abgeben..
|
|
| |
|
> Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
>
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=105211&start=0&lps=764994#v764994
Hallo,
Du hast dort ja auch eine Antwort bekommen, welche Du hier, beim wiederholten Posten im (nun richtigen) Forum, nicht mit einfließen läßt.
Wenn sich hier jemand hinsetzen und dasselbe wie "drüben" schreiben würde, wäre das doch ineffektiv.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
