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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 24.02.2007 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | Die Eingeborenen auf der Insel T. zahlen mit Mangos und getrockneten Fischen. Eine Mango entspricht 3, ein Fisch 5 Werteinheiten.
Eine Hängematte kostet z.B. 11 Werteinheiten, kann also durch 2 Mangos und einen Fisch bezahlt werden.
Wechseln ist nicht üblich! So kann eine Kokusnuss zum Preis von 4 Werteinheiten nicht mit 3 Mangos bezahlt werden, für die der Käufer dann eine Kokusnuss zusammen mit einem Fisch erhält.
Ermitteln sie alle (ganzzahligen) Preise, die in der "Währung" von T. nicht darstellbar sind. |
Zahlen zu finden ist nicht schwer. Z.B: 1,2 .. nur wie soll man dies beweisen?
Vielen Dank für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 24.02.2007 | | Autor: | CPH |
> Die Eingeborenen auf der Insel T. zahlen mit Mangos und
> getrockneten Fischen. Eine Mango entspricht 3, ein Fisch 5
> Werteinheiten.
> Eine Hängematte kostet z.B. 11 Werteinheiten, kann also
> durch 2 Mangos und einen Fisch bezahlt werden.
> Wechseln ist nicht üblich! So kann eine Kokusnuss zum
> Preis von 4 Werteinheiten nicht mit 3 Mangos bezahlt
> werden, für die der Käufer dann eine Kokusnuss zusammen mit
> einem Fisch erhält.
> Ermitteln sie alle (ganzzahligen) Preise, die in der
> "Währung" von T. nicht darstellbar sind.
Ich würde erst einmal die Ganzzahligen beträge herausfinden, die dargestellt werden können:
alsodie menge der darstellbaren zahlen währe:
M:= {z [mm] \in \IN [/mm] | z=a*3+b*4+c*5 | [mm] a\in \IN [/mm] | [mm] b\in \IN [/mm] | [mm] c\in \IN [/mm] }
alle anderen zahlen lassen sich nicht darstellen.
also [mm] z\in \IN \backslash [/mm] M lassen sich nicht darstellen.
Vielleicht hilft dir das weiter
MFG
CPH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo CPH!
Woher kommt denn der Anteil mit $b*4_$ ? Es gibt doch nur die Einheiten $5_$ bzw. $3_$ , so dass die zahlbare Menge sich darstellen lässt als:
$M \ := \ [mm] \{z\in \IN \ | \ z \ = \ k*3+l*5 \ | \ k,l \in \IN \ \}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Sa 24.02.2007 | | Autor: | DaMazen |
Ich habe die Frage auch so verstanden das nun nur die 3 und die 5 in Frage kommen... Wie es nun gemeint ist, weiß ich leider nicht genau.
Aber die Anregung ist gut und ich werde mich morgen damit mal auseinandersetzen.
Falls noch einer eine Idee zum Verstehen der Frage hat wäre ich dankbar!
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 27.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> Woher kommt denn der Anteil mit [mm]b*4_[/mm] ? Es gibt doch nur die
> Einheiten [mm]5_[/mm] bzw. [mm]3_[/mm] , so dass die zahlbare Menge sich
> darstellen lässt als:
>
> [mm]M \ := \ \{z\in \IN \ | \ z \ = \ k*3+l*5 \ | \ k,l \in \IN \ \}[/mm]
genau das ist es, zumindest wenn [mm] $\IN$ [/mm] die Menge der natuerlichen Zahlen inkl. der 0 ist (was fuer mich so ist, fuer andere aber evtl. nicht).
Zur eigentlichen Frage: da 3 und 5 teilerfremd sind, kann man $1 = 3 a + 5 b$ schreiben mit $a, b [mm] \in \IZ$, [/mm] und somit jede gross genuge Zahl aus [mm] $\IN$ [/mm] in der Form $3 [mm] \lambda [/mm] + 5 [mm] \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu \in \IN$ [/mm] darstellen: man startet mit einer beliebigen Zahl $x = 3 [mm] \lambda [/mm] + 5 [mm] \mu$ [/mm] mit [mm] $\lambda, \mu \ge [/mm] 0$ und [mm] $\lambda [/mm] + 2 a [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $\mu [/mm] + 2 b > 0$, und kann somit $x$, $x + 1 = 3 [mm] (\lambda [/mm] + a) + 5 [mm] (\mu [/mm] + b)$ und $x + 2 = 3 [mm] (\lambda [/mm] + 2 a) + 5 [mm] (\mu [/mm] + 2 b)$ darstellen. Damit kann man dann auch jede Zahl $x + k$, $k [mm] \ge [/mm] 0$ darstellen, indem man $k = 3 q + r$ schreibt mit $0 [mm] \le [/mm] r < 3$ und $r, q [mm] \in \IN$ [/mm] und dann zu $x + r [mm] \in \{ x, x + 1, x + 2 \}$ [/mm] das passende Vielfache von 3 hinzuaddiert.
Was man also macht: man sucht drei benachbarte Zahlen innerhalb von $M$; nach obiger Argumentation weiss man, das es sowas gibt, und ebenso das man damit dann alle groesseren bekommt.
Jetzt muss man sich nur noch die kleineren Zahlen anschauen, und jeweils zeigen ob sie darstellbar sind (indem man eine Darstellung angibt) oder das sie es halt nicht sind.
Wie man vorgeht um zu zeigen, dass etwas nicht darstellbar ist, sieht man vielleicht an diesem Beispiel:
Behauptung: $4 [mm] \not\in [/mm] M$, also man kann nicht $4 = 3 [mm] \lambda [/mm] + 5 [mm] \mu$ [/mm] schreiben mit [mm] $\lambda, \mu \ge [/mm] 0$.
Angenommen, es geht doch. Dann muss [mm] $\mu [/mm] = 0$ sein, da ansonsten $4 = 3 [mm] \lambda [/mm] + 5 [mm] \mu \ge [/mm] 5 [mm] \mu \ge [/mm] 5 > 4$ waere, ein Widerspruch. Dann ist jedoch $4 = 3 [mm] \lambda$ [/mm] und somit $3$ ein Teiler von $4$, ein Widerspruch. Also kann man $4$ nicht so schreiben, und somit ist $4 [mm] \not\in [/mm] M$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 28.02.2007 | | Autor: | DaMazen |
Na das nenne ich mal ne tolle Antwort! Vielen Dank für die Mühe!
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