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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tau |
| Aufgabe | | Seien [mm] \IZ_{p^{2}}, \IZ_{p}\times \IZ_{p}. [/mm] p ist prim |
Warum sind die beiden Gruppen nicht gleich?
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moin tau,
Nehmen wir als Beispiel mal $p=2$.
In [mm] $\IZ_4$ [/mm] gibt es ein Element der Ordnung 4, in [mm] $\IZ_2 \times \IZ_2$ [/mm] nicht.
[mm] $\IZ_p \times \IZ_q \cong \IZ_{pq}$ [/mm] hast du übrigens, wenn ggT$(p,q) = 1$.
lg
Schadow
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> Seien [mm]\IZ_{p^{2}}\ ,\ \IZ_{p}\times \IZ_{p}.[/mm] p ist prim
> Warum sind die beiden Gruppen nicht gleich?
Ich denke, dass man für einen allgemeinen Beweis
(nicht nur an einem Beispiel) die möglichen Ordnungen
der Elemente betrachten sollte. Zuallererst ist natürlich
zu beachten, dass die Elemente von [mm] $\IZ_{p}\times \IZ_{p}$ [/mm] zunächst
einmal Zahlenpaare sind, jene von [mm] $\IZ_{p^{2}}$ [/mm] aber
einfache Zahlen aus [mm] $\{0,1,2,\,...\,,p^2-1\}$ [/mm] .
LG Al-Chw.
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