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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:25 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute,
bei der Definition eines Topologischen Raumes, haben wir gesagt, dass man eine Menge X braucht und eine Menge von Teilmengen, die 3 Axiomen entsprechen, die man dann auch Topoligie nennt. Jede Teilmenge aus der Topologie nennt man dann offene Menge.
Ich verstehe jetzt nciht so ganz was mit offene Menge gemeint ist.
Sind damit die Mengen gemeint, in der jede Umgebung jedes Punktes der Menge wieder in der Menge liegt? Wenn ja, folgt aus den 3 Axiomen der Topologie?
Wäre nett, wenn das jemand mal klar stellen könnte.
Gruß an alle.. Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mo 08.05.2006 | | Autor: | choosy |
> (frage zuvor nicht gestellt)
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> Hey Leute,
> bei der Definition eines Topologischen Raumes, haben wir
> gesagt, dass man eine Menge X braucht und eine Menge von
> Teilmengen, die 3 Axiomen entsprechen, die man dann auch
> Topoligie nennt. Jede Teilmenge aus der Topologie nennt man
> dann offene Menge.
> Ich verstehe jetzt nciht so ganz was mit offene Menge
> gemeint ist.
einfach die elemente der Topologie!
> Sind damit die Mengen gemeint, in der jede Umgebung jedes
> Punktes der Menge wieder in der Menge liegt? Wenn ja, folgt
> aus den 3 Axiomen der Topologie?
Was du meinst, liegt vor wenn du eine von einer metrik induzierte Topologie betrachtest. man kann auch topologien z.b. auf [mm] $\IR$ [/mm] betrachten bei denen das nicht der fall ist.
(z.B. ist ${ [mm] \emptyset,\IR,[0,1]}$ [/mm] eine Topologie, in dieser ist [0,1] eine offene Menge)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sind damit die Mengen gemeint, in der jede Umgebung jedes
> Punktes der Menge wieder in der Menge liegt?
Vorsicht: Jede Umgebung tut das meistens nicht! Der ganze Raum ist auch eine Umgebung von jedem Punkt, und der ist meistens nicht Teilmenge einer Menge...
Was du meinst: Zu jedem Punkt in der Menge gibt es eine Umgebung des Punktes, die komplett in der Menge enthalten ist. Das gilt in jedem topologischen Raum.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal an euch beide für die antworten
@felixf ist das dann wieder die menge selbst?
also kann ich jetzt insgesammt festhalten:
wenn auf der menge, auf dem die topologie definiert ist, auch eine metrik definiert ist, so sind die offenen mengen bzgl. der topologie, also die elemente der topologie gleichbedeutend mit den offenen mengen der metrik oder?
wenn ja, muss man dann zwischen offenen mengen bzgl. einer metrik und einem topologischen raum überhaupt irgendwie unterscheiden?
kann man irgendwie beweisen, dass die offenen mengen einer topologie bzgl. des metrischen raumes wieder offen sind aus den axiomen einer topolgie?
gruß Ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 08.05.2006 | | Autor: | choosy |
> wenn auf der menge, auf dem die topologie definiert ist,
> auch eine metrik definiert ist, so sind die offenen mengen
> bzgl. der topologie, also die elemente der topologie
> gleichbedeutend mit den offenen mengen der metrik oder?
nur wenn du die von der metrik erzeugte topologie verwendest, sonst muss das nicht so sein...
>
> wenn ja, muss man dann zwischen offenen mengen bzgl. einer
> metrik und einem topologischen raum überhaupt irgendwie
> unterscheiden?
wenn die topologie von der metrik erzeugt ist nicht
>
> kann man irgendwie beweisen, dass die offenen mengen einer
> topologie bzgl. des metrischen raumes wieder offen sind aus
> den axiomen einer topolgie?
muss man nicht, das sieht man wenn man sich anschaut auf welche weise eine metrik eine topologie erzeugt.
(sprich das steckt in der konstruktion der topologie)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habe es jetzt verstanden.. vielen dank für die hilfe
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