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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Zwei Normen [mm] ||.||_{1} [/mm] und [mm] ||.||_{2} [/mm] auf V seien äquivalent.
Die Normen [mm] ||.||_{i} [/mm] definieren eine Metrik [mm] d_{i} [/mm] und eine Topologie [mm] T_{i}, [/mm] i=1,2.
Beweise : [mm] T_{1}=T_{2} [/mm] |
Ich kenne die Definition von äquivalneten Normen :
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V : r * [mm] ||v||_{1} \le ||v||_{2} \le R*||v||_{1}
[/mm]
Aber ich verstehe noch nicht ganz wie eine Norm eine Topologie induzieren kann und wie ich einen zusammenhang zwischen der äquivelnz der Normen und der gleichheit der Topologien herstellen soll.
Kann mir da jemand helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei V ein [mm]\IR-Vektorraum.[/mm]
> Zwei Normen [mm]||.||_{1}[/mm] und [mm]||.||_{2}[/mm] auf V seien
> äquivalent.
>
> Die Normen [mm]||.||_{i}[/mm] definieren eine Metrik [mm]d_{i}[/mm] und eine
> Topologie [mm]T_{i},[/mm] i=1,2.
>
> Beweise : [mm]T_{1}=T_{2}[/mm]
> Ich kenne die Definition von äquivalneten Normen :
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V : r * [mm]||v||_{1} \le ||v||_{2} \le R*||v||_{1}[/mm]
>
> Aber ich verstehe noch nicht ganz wie eine Norm eine
> Topologie induzieren kann und wie ich einen zusammenhang
> zwischen der äquivelnz der Normen und der gleichheit der
> Topologien herstellen soll.
naja, die Norm [mm] $\|.\|_i$ [/mm] induziert auf [mm] $V\,$ [/mm] eine Metrik [mm] $d_i\,.$ [/mm] Genauer wird diese definiert durch:
[mm] $$d_i: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [0,\infty),$$
[/mm]
[mm] $$\forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] d(v,w):=\|v-w\|_i\,.$$
[/mm]
Diese Metrik [mm] $d_i$ [/mm] wiederum induziert eine Topologie [mm] $T_i$ [/mm] auf [mm] $V\,.$ [/mm] Und dabei heißt (mit der Definition [mm] $U^{(i)}_{\varepsilon}(o):=\{v \in V: d_i(v,o) < \varepsilon\}=\{v \in V: \|v-o\|_i < \varepsilon\}$) [/mm] eine Teilmenge [mm] $\mathcal{O} \subseteq T_i$ [/mm] offen (d.h. [mm] $\mathcal{O} \in T_i$), [/mm] wenn
[mm] $$\forall [/mm] o [mm] \in \mathcal{O}: \exists \varepsilon=\varepsilon(o) [/mm] > 0: [mm] U^{(i)}_{\varepsilon}(o) \subseteq \mathcal{O}\,.$$
[/mm]
Nun hast Du zu zeigen, dass sowohl [mm] $T_1 \subseteq T_2$ [/mm] als auch [mm] $T_2 \subseteq T_1$ [/mm] gelten.
1.) Zu [mm] $T_1 \subseteq T_2$.
[/mm]
Das heißt, zu zeigen ist: Nimmst Du (irgend-)eine Teilmenge [mm] $\mathcal{O} \in T_1$ [/mm] her, so erfüllt diese auch [mm] $\mathcal{O} \in T_2\,.$
[/mm]
Dazu: Sei [mm] $\mathcal{O} \in T_1\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\mathcal{O} \subseteq [/mm] V$ offen bzgl. [mm] $d_1\,.$ [/mm] Was bedeutet das, wenn Du nun irgendein Element $o [mm] \in \mathcal{O}$ [/mm] wählst? (Zu diesem $o [mm] \in \mathcal{O}$ [/mm] gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass ...)
Wie findest Du nun zu diesem $o [mm] \in \mathcal{O}$ [/mm] ein [mm] $\tilde{\varepsilon} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] welches [mm] $U^{(2)}_{\tilde{\varepsilon}} \subseteq \mathcal{O}$ [/mm] erfüllt? (Hierbei solltest Du die Äquivalenz der Normen benutzen.)
2.) Zu [mm] $T_2 \subseteq T_1$:
[/mm]
Das geht vollkommen analog.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich schreibs mal auf :)
[mm] "\Rightarrow" [/mm] : z.z. [mm] T_{1} \subseteq T_{2}
[/mm]
O [mm] \in T_{1} [/mm] ; O [mm] \subseteq [/mm] V offen bzgl [mm] d_{1}
[/mm]
[mm] x\in [/mm] O dann existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit
[mm] \{ y\in V | ||x-y||_{1}< \varepsilon \} \subset [/mm] O
Jetzt setze ich die Definition für äquivalente Normen ein :
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V : r [mm] ||v||_{1} \le ||v||_{2} \le [/mm] R [mm] ||v||_{1} [/mm] für r,R > 0
Hierbei beachte ich, dass man die Rollen von [mm] ||.||_{1} [/mm] und [mm] ||.||_{2} [/mm] vertauschen darf,
in dem ich statt der Konstanten r [mm] R^{-1} [/mm] und statt R [mm] r^{-1} [/mm] wähle.
Dann gilt auch
[mm] \{ y \in V | ||x-y||_{2} < R^{-1} \varepsilon\} \subset [/mm] O
[mm] \Rightarrow [/mm] O [mm] \in T_{2}
[/mm]
[mm] "\Leftarrow" [/mm] z.z. [mm] T_{2} \subseteq T_{1} [/mm] analog
Kann ich dass so sagen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 24.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\{ y \in V | ||x-y||_{2} < R^{-1} \varepsilon\} \subset[/mm] O
Vielleicht einen Satz dazu, warum denn nun genau (also eine Ungleichngskette).
> Kann ich dass so sagen ?
Jo.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Danke schön :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich schreibs mal auf :)
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] : z.z. [mm]T_{1} \subseteq T_{2}[/mm]
>
> O [mm]\in T_{1}[/mm] ; O [mm]\subseteq[/mm] V offen bzgl [mm]d_{1}[/mm]
> [mm]x\in[/mm] O dann existiert ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 mit
> [mm]\{ y\in V | ||x-y||_{1}< \varepsilon \} \subset[/mm] O
>
> Jetzt setze ich die Definition für äquivalente Normen ein
> :
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V : r [mm]||v||_{1} \le ||v||_{2} \le[/mm] R [mm]||v||_{1}[/mm]
> für r,R > 0
>
> Hierbei beachte ich, dass man die Rollen von [mm]||.||_{1}[/mm] und
> [mm]||.||_{2}[/mm] vertauschen darf,
> in dem ich statt der Konstanten r [mm]R^{-1}[/mm] und statt R
> [mm]r^{-1}[/mm] wähle.
>
> Dann gilt auch
>
> [mm]\{ y \in V | ||x-y||_{2} < R^{-1} \varepsilon\} \subset[/mm] O
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] O [mm]\in T_{2}[/mm]
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] z.z. [mm]T_{2} \subseteq T_{1}[/mm] analog
>
> Kann ich dass so sagen ?
bzgl. des "analog": Ja, das kannst Du, sofern Du Dir das auch wirklich überlegt hast. Um das Deinem Korrektor ein wenig deutlicher zu machen, könnte man vielleicht kurz schreiben:
Analog zu [mm] "$\Rightarrow$", [/mm] nur mit Rollentausch [mm] $T_1 \leftrightarrow T_2$, $R \leftrightarrow r$... oder sowas. Muss man aber nicht, zumal es hier einem auch wirklich ins Gesicht springt. ;-)
Beste Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
sorry, dass ich den Spielverderber geben muss:
Deine Behauptung
> [mm]\{ y \in V | ||x-y||_{2} < R^{-1} \varepsilon\} \subset[/mm] O
ist im Allgemeinen falsch. Du benötigst ein anderes Vielfaches von [mm] $\varepsilon$ [/mm] anstelle von [mm] $R^{-1} \varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Ayame |
könntest du das vllt genauer erklären , wieso ?
Wieso geht es denn nicht mit meiner neuen Konstante [mm] R^{-1} [/mm] nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> könntest du das vllt genauer erklären , wieso ?
>
> Wieso geht es denn nicht mit meiner neuen Konstante [mm]R^{-1}[/mm]
> nicht ?
ich seh' auch das Problem (sorry, dass ich vorhin so blind vertraut habe und nicht selbst kontrolliert habe):
Denn:
Wir suchen nun [mm] $\tilde{\varepsilon} [/mm] > 0$, so dass wir aus [mm] $\|x-y\|_2 [/mm] < [mm] \tilde{\varepsilon}$ [/mm] folgern können, dass [mm] $\|x-y\|_1 [/mm] < [mm] \varepsilon\,$ [/mm] gilt (denn dann gilt für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit [mm] $\|x-y\|_2 [/mm] < [mm] \tilde{\varepsilon}$ [/mm] auch [mm] $\|x-y\|_1 [/mm] < [mm] \varepsilon$).
[/mm]
Es gilt
[mm] $$\|x-y\|_1 \le \frac{1}{r}\|x-y\|_2 [/mm] < [mm] \frac{1}{r}\tilde{\varepsilon}\,,$$
[/mm]
und [mm] $\frac{1}{r}\tilde{\varepsilon}$ [/mm] sollte somit [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] sein. Also [mm] $\tilde{\varepsilon}=r*\varepsilon$ [/mm] kannst Du wählen.
Beste Grüße,
Marcel
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