Topologie? Hausdorffsch? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 So 30.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Verifizieren Sie, dass
$ [mm] \mathcal{T}:=\{U\ \subset\ \IR\ |\ U=\emptyset \vee | \IR\backslash U | < \infty\}\subset\mathcal{P}(\IR) [/mm] $
eine Topologie auf [mm] \IR [/mm] ist. Ist [mm] \IR [/mm] mit dieser Topologie hausdorffsch? |
Hallo,
ich weiß:
Eine Topologie ist hausdorffsch, wenn es zu je zwei punkten [mm] x\not=y \in [/mm] X offene Mengen U,V [mm] \subset [/mm] X mit x [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in [/mm] V und U [mm] \cap [/mm] V= [mm] \emptyset
[/mm]
Eine Topologie ist es wenn: Sei X eine Menge. Eine Teilmenge [mm] \mathcal{T} \subset [/mm] von [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] der Potenzmenge heißt Topologie auf X, wenn gilt:
1.[mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm], [mm]X \in \mathcal{T} [/mm]
2.[mm] \forall U \in \mathcal{T} , V \in \mathcal{T} : U \cap T \in \mathcal{T}[/mm]
3. Für jede Indexmenge I und jede Familie [mm] U_{i} \in \mathcal{T}, [/mm] i [mm] \in [/mm] I gilt: [mm] \bigcup_{i \in I}U_{i} \in \mathcal{T}
[/mm]
Ich brauch ein paar Ansätze, wie ich die Definition anwenden soll. Besonders der dritte Teil der Definition einer Toplologie macht mir Schwierigkeiten.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mo 31.05.2010 | | Autor: | statler |
> Verifizieren Sie, dass
> [mm]\mathcal{T}:=\{U\ \subset\ \IR\ |\ U=\emptyset \vee | \IR\backslash U | < \infty\}\subset\mathcal{P}(\IR)[/mm]
>
> eine Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist. Ist [mm]\IR[/mm] mit dieser Topologie
> hausdorffsch?
Guten Morgen!
> ich weiß:
>
> Eine Topologie ist hausdorffsch, wenn es zu je zwei punkten
> [mm]x\not=y \in[/mm] X offene Mengen U,V [mm]\subset[/mm] X mit x [mm]\in[/mm] U und y
> [mm]\in[/mm] V und U [mm]\cap[/mm] V= [mm]\emptyset[/mm]
>
>
> Eine Topologie ist es wenn: Sei X eine Menge. Eine
> Teilmenge [mm]\mathcal{T} \subset[/mm] von [mm]\mathcal{P}(X)[/mm] der
> Potenzmenge heißt Topologie auf X, wenn gilt:
> 1.[mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm], [mm]X \in \mathcal{T}[/mm]
> 2.[mm] \forall U \in \mathcal{T} , V \in \mathcal{T} : U \cap T \in \mathcal{T}[/mm]
>
> 3. Für jede Indexmenge I und jede Familie [mm]U_{i} \in \mathcal{T},[/mm]
> i [mm]\in[/mm] I gilt: [mm]\bigcup_{i \in I}U_{i} \in \mathcal{T}[/mm]
In dieser Topologie liegen genau die Mengen, deren Komplement endlich ist (und [mm] $\emptyset$). [/mm] Um auf Punkt 3 zu kommen: Was ist das Komplement einer Vereinigung von z. B. 2 Mengen? Vielleicht hilft da auch ein Venn-Diagramm.
Und wg. hausdorffsch: Ist für einen einzelnen Punkt P [mm] \IR \backslash \{ P \} [/mm] in der Topologie?
Soweit erstmal und Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich verstehe die Definition der Topologie nicht ganz.
Die Topologie besitzt ja die leere Menge sowie [mm] \#(\IR\backslash [/mm] U) < [mm] \infty.
[/mm]
Aber ich kann nicht nachvollziehen was : [mm] \#(\IR\backslash [/mm] U) < [mm] \infty [/mm] ist.
Könnte mir das jemand erklären ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe die Definition der Topologie nicht ganz.
>
> Die Topologie besitzt ja die leere Menge sowie
> [mm]\#(\IR\backslash[/mm] U) < [mm]\infty.[/mm]
>
> Aber ich kann nicht nachvollziehen was : [mm]\#(\IR\backslash[/mm]
> U) < [mm]\infty[/mm] ist.
>
> Könnte mir das jemand erklären ?
Es ist U [mm] \in \mathcal{T} \gdw [/mm] U = [mm] \emptyset [/mm] oder [mm] \IR [/mm] \ U ist endlich.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
> 1.[mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm], [mm]X \in \mathcal{T}[/mm]
[mm] \emptyset \in \mathcal{T} [/mm] ist ja klar nach Definition, aber kann ich einfach sagen dass X [mm] \in \mathcal{T} [/mm] gilt?
Was muss eigentlich genau das X sein? Ist X die größte Teilmenge von [mm] \mathcal{P}(\IR)? [/mm] Das heißt doch eigentlich, dass X = [mm] \IR [/mm] ist.
Und dann kann ich sagen, dass da gilt:
[mm] \{\IR \subset \IR| \# (\IR \backslash \IR)= \# (\emptyset ) =0 <\infty \}
[/mm]
Das heißt, die erste Bedingung ist erfüllt.
Für zweitens hab ich:
Seien [mm] U_{1}, U_{2} \subset \IR \Rightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \subset \IR \Rightarrow \# (\IR \backslash (U_{1} \cap U_{2})) <\infty [/mm]
Daher gilt auch die zweite Bedingung.
Für die dritte Bedingung:
Seien [mm] U_{1}, U_{2} \subset \IR \Rightarrow \IR \backslash (U_{1} \cup U_{2}) \gdw \IR \backslash U_{1} \cap \IR \backslash U_{2}
[/mm]
Dann gilt:
Sei I Indexmenge und [mm] U_{i} \subset \IR \
[/mm]
dann gilt:
[mm] \IR \backslash (\bigcup_{i \in I} U_{i}) \gdw \bigcap_{i\in I} (\IR \backslash U_{i})
[/mm]
nach der zweiten Bedingung ist: [mm] \bigcap_{i\in I} (\IR \backslash U_{i}) \in \mathcal{T}
[/mm]
Oder hab ich das jetzt falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 01.06.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > 1.[mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm], [mm]X \in \mathcal{T}[/mm]
>
>
> [mm]\emptyset \in \mathcal{T}[/mm] ist ja klar nach Definition, aber
> kann ich einfach sagen dass X [mm]\in \mathcal{T}[/mm] gilt?
>
> Was muss eigentlich genau das X sein? Ist X die größte
> Teilmenge von [mm]\mathcal{P}(\IR)?[/mm] Das heißt doch
> eigentlich, dass X = [mm]\IR[/mm] ist.
Uneigentlich auch! Das X ist die Menge, auf der die Topologie definiert ist, hier also [mm] \IR.
[/mm]
> Und dann kann ich sagen, dass da gilt:
>
> [mm]\{\IR \subset \IR| \# (\IR \backslash \IR)= \# (\emptyset ) =0 <\infty \}[/mm]
>
> Das heißt, die erste Bedingung ist erfüllt.
Ja.
> Für zweitens hab ich:
> Seien [mm]U_{1}, U_{2} \subset \IR \Rightarrow (U_{1} \cap U_{2}) \subset \IR \Rightarrow \# (\IR \backslash (U_{1} \cap U_{2})) <\infty[/mm]
Das müßte man schon etwas genauer und besser machen. Es ist zu zeigen, daß [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] wieder in [mm] \mathcal{T} [/mm] ist, also eine 'offene' Menge ist. Dazu muß man zeigen, daß [mm] \IR \backslash (U_{1} \cap U_{2}) [/mm] nur endlich viele Elemente hat. Aber [mm] \IR \backslash (U_{1} \cap U_{2}) [/mm] ist gleich [mm] (\IR \backslash U_{1}) \cup (\IR \backslash U_{2}). [/mm] Und [mm] \# ((\IR \backslash U_{1}) \cup (\IR \backslash U_{2})) \le \# (\IR \backslash U_{1}) [/mm] + [mm] \# (\IR \backslash U_{2}).
[/mm]
Für 3., also die beliebige Vereinigung, überlasse ich das mal dir.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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