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Hallo!
Gegeben ist die Einheitskugel/Einheitskreis [mm] S_1=\{(x,y)\in\IR^2|\sqrt{x^2+y^2}=1\} [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] und folgende Geraden:
[mm] G_r:=\{\lambda\cdot r|r\in\IQ,\lambda\in\IR\}
[/mm]
also alle Geraden mit rationalem Startwert. Und ich soll mir nun überlegen, was der Schnitt all dieser Geraden mit dem Einheitskreis ergibt.
Dazu habe ich mir überlegt, dass ich doch eigentlich jede reelle Zahl darstellen kann als ein Produkt aus einer rationalen und einer reellen Zahl. Also kann ich jeden Punkt auf dem Einheitskreis bekommen durch ein Produkt aus einem Punkt in [mm] \IQ^2 [/mm] mit einer reellen Zahl. Also finde ich zu jedem Element auf [mm] S_1 [/mm] eine Gerade, die durch diesen Punkt geht - oder anders: wenn ich alle Geraden [mm] G_r [/mm] mit [mm] S_1 [/mm] schneide, bekomme ich ganz [mm] S_1.
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Dazu habe ich mir überlegt, dass ich doch eigentlich jede reelle Zahl darstellen kann als ein Produkt aus einer rationalen und einer reellen Zahl. Also kann ich jeden Punkt auf dem Einheitskreis bekommen durch ein Produkt aus einem Punkt in $ [mm] \IQ^2 [/mm] $ mit einer reellen Zahl.
Wieso? Also der Schluß vom 1. zum 2. Satz. Nehmen wir [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{3}$, [/mm] welche zwei rationalen Zahlen und welche reelle Zahl würdest Du dann wählen?
Machen wir das ganze mal mit weniger handwaving, sondern schön mit Variablen und Formeln:
Die Frage ist, ob für [mm] $(x,y)\in S_1$ [/mm] es immer ein [mm] $q\in\IQ$ [/mm] gibt mit $xq=y$.
ciao
Stefan
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> Hi,
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> > Dazu habe ich mir überlegt, dass ich doch eigentlich jede
> reelle Zahl darstellen kann als ein Produkt aus einer
> rationalen und einer reellen Zahl. Also kann ich jeden
> Punkt auf dem Einheitskreis bekommen durch ein Produkt aus
> einem Punkt in [mm]\IQ^2[/mm] mit einer reellen Zahl.
>
> Wieso? Also der Schluß vom 1. zum 2. Satz. Nehmen wir
> [mm]\sqrt{2}[/mm] und [mm]\sqrt{3}[/mm], welche zwei rationalen Zahlen und
> welche reelle Zahl würdest Du dann wählen?
>
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> Machen wir das ganze mal mit weniger handwaving, sondern
> schön mit Variablen und Formeln:
> Die Frage ist, ob für [mm](x,y)\in S_1[/mm] es immer ein [mm]q\in\IQ[/mm]
> gibt mit [mm]xq=y[/mm].
>
> ciao
> Stefan
Ok, das sehe ich ein ;)
Dann bekomme ich also raus, dass ich beim Schnitt aller meiner Geraden [mm] G_r [/mm] mit [mm] S_1 [/mm] folgende Menge bekomme:
[mm] M=\{(x,y)\in\IR^2|x,y\in\IQ \vee x,y\in\IR\setminus\IQ\}\subset S_1
[/mm]
also alle Punkte, die entweder zwei rationalen Koordinaten oder zwei irrationale Koordinaten haben.
Auf [mm] S_1 [/mm] gibt es aber auch Punkte, mit sowohl rationalen als auch irrationalen Koordinaten, denn:
für [mm] \lambda\in\IR\setminus\IQ [/mm] und [mm] r=(r_1,r_2) [/mm] mit [mm] r_1\in\IQ [/mm] gilt
[mm] 1=\sqrt{(\lambda r_1)^2+(\lambda r_2)^2}
[/mm]
[mm] \rightarrow r_2^2=\frac{1}{\lambda^2}-r_1^2
[/mm]
und damit ist [mm] r_2 [/mm] irrational.
Das stimmt doch so, oder?
Ich soll nun auch noch das Innere, den Rand und den Abschluss dieser Menge bestimmen.
Inneres: leer, da [mm] \IQ^2 [/mm] dicht in [mm] \IR^2 [/mm] (und damit auch [mm] \IQ^2 [/mm] dicht in [mm] \IR\times\IQ [/mm] ), ich also in jeder Umgebung zu jedem Punkt mit zwei rationalen Koordinaten einen Punkt mit einer rationalen und einer irrationalen Zahl finde. Und das selbe gilt auch für Punkte mit zwei irrationalen Koordinaten.
Rand: [mm] S_1, [/mm] da jede Umgebung um einen Punkt in [mm] S_1 [/mm] sowohl M, als auch [mm] S_1 [/mm] schneidet (mit der selben Begründung wie oben) Für Punkte außerhalb von [mm] S_1 [/mm] kann ich aber meine Umgebung so klein wählen, dass ich keinen Schnitt mehr mit M habe
Abschluss: als Summe von Innerem und Rand auch [mm] S_1
[/mm]
stimmt das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 21.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Gegeben ist die Einheitskugel/Einheitskreis
> [mm]S_1=\{(x,y)\in\IR^2|\sqrt{x^2+y^2}=1\}[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] und
> folgende Geraden:
>
> [mm]G_r:=\{\lambda\cdot r|r\in\IQ,\lambda\in\IR\}[/mm]
Kommt in dieser "Geradengleichung" weder ein x noch ein y vor?
Gruß Abakus
>
> also alle Geraden mit rationalem Startwert. Und ich soll
> mir nun überlegen, was der Schnitt all dieser Geraden mit
> dem Einheitskreis ergibt.
>
>
>
> Dazu habe ich mir überlegt, dass ich doch eigentlich jede
> reelle Zahl darstellen kann als ein Produkt aus einer
> rationalen und einer reellen Zahl. Also kann ich jeden
> Punkt auf dem Einheitskreis bekommen durch ein Produkt aus
> einem Punkt in [mm]\IQ^2[/mm] mit einer reellen Zahl. Also finde ich
> zu jedem Element auf [mm]S_1[/mm] eine Gerade, die durch diesen
> Punkt geht - oder anders: wenn ich alle Geraden [mm]G_r[/mm] mit [mm]S_1[/mm]
> schneide, bekomme ich ganz [mm]S_1.[/mm]
>
> Stimmt das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balendilin |
> > Hallo!
> >
> > Gegeben ist die Einheitskugel/Einheitskreis
> > [mm]S_1=\{(x,y)\in\IR^2|\sqrt{x^2+y^2}=1\}[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] und
> > folgende Geraden:
> >
> > [mm]G_r:=\{\lambda\cdot r|r\in\IQ,\lambda\in\IR\}[/mm]
> Kommt in
> dieser "Geradengleichung" weder ein x noch ein y vor?
> Gruß Abakus
> >
Die Geradengleichung lautet genau so.
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