Total diff.bare Abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 07.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Sei f: U [mm] \to \IR^n [/mm] eine im Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] U (total) diffbare Abbildung. Dann gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 und eine Umgebung V von [mm] x_{0} [/mm] in U mit
|| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] || [mm] \le [/mm] L||x - [mm] x_{0} [/mm] ||
für alle x [mm] \in [/mm] V
|
Ich weiß da gar nicht wie ich anfangen soll.
Hat das irgendwas mit Lipschitz Stetigkeit zu tun (schaut irgendwie ähnlich aus)?
Vielen Dank für eure Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mo 08.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Du weißt:
[mm] $\bruch{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)}{||x-x_0||} \to [/mm] 0 $ für $x [mm] \to x_0$
[/mm]
also gibt es eine Umgebung V von [mm] x_0 [/mm] in U mit:
[mm] $||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)|| \le ||x-x_0||$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] V
Für x [mm] \in [/mm] V:
[mm] $||f(x)-f(x_0)|| [/mm] = [mm] ||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)||$
[/mm]
$ [mm] \le ||f(x)-f(x_0)-f'(x_0)*(x-x_0)||+ ||f'(x_0)*(x-x_0)|| [/mm] $
[mm] $\le ||x-x_0|| [/mm] + [mm] ||f'(x_0)||* ||x-x_0|| [/mm] = [mm] (1+||f'(x_0)||) ||x-x_0||$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
