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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen!
Hääte da mal eine Frage:
Und zwar soll ich herausfinden in welchen Punkten des [mm] $\IR^{2}$ [/mm] die funktion f(x,y) gegeben durch
i.) [mm] $\parallel(x,y) \parallel_{1}$
[/mm]
ii.) [mm] $\parallel(x,y) \parallel_{2}$
[/mm]
iii.) [mm] $\parallel(x,y) \parallel_{ \infty} [/mm] = max( |x|, |y|)$
differenzierbar? Dann soll ich die Ableitunge dazu nennen.
Doch wie mach ich das. kann mir vielelicht einer für ein Besipiel das ganze durchrechenen so dass ich das dann evrstehen kann und auf die anderen zwei beispiele anwenden kann?
Wäre echt nett. bis dann Mikke
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Hallo!
Diese Funktionen sind in [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] total differenzierbar, wenn sie partiell nach $x$ bzw $y$ in [mm] $x_0$ [/mm] bzw [mm] $y_0$ [/mm] stetig differenzierbar sind.
Zum Beispiel:
[mm] $f(x,y)=\|(x,y)\|_1=|x|+|y|=\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}$.
[/mm]
Für [mm] $x_0,y_0\ne [/mm] 0$ gilt: [mm] $\bruch\partial{\partial x}f(x_0,y_0)=\mathrm{sgn}(x_0)$. [/mm] Ebenso für [mm] $y_0$. [/mm] In einer kleinen Umgebung um [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ist also [mm] $\bruch\partial{\partial x}f(x,y)=\mathrm{sgn}(x_0)$, [/mm] also ist die Ableitung in [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] stetig.
Im Fall von [mm] $x_0=0$ [/mm] oder [mm] $y_0=0$ [/mm] ist $f$ dann nach mindestens einer Variable nicht partiell differenzierbar, also auch nicht total differenzierbar.
Kannst du jetzt die anderen Aufgaben rechnen?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Mikke |
Danke schon mal für die mühe...
was genau bedeutet denn dies sgn(x). hatten wir so irgendwie nicht in der vorlesung. kannst du dann auch villeicht noch mal nen tipp für die zweite und dritte geben??
dankeschön bis denn mikke
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Hallo!
[mm] $\mathrm{sgn}(x)$ [/mm] ist einfach das Vorzeichen (deshalb Signum) von $x$. Also: Für $x>0$ ist [mm] $\mathrm{sgn}(x)=1$, [/mm] für $x<0$ ist [mm] $\mathrm{sgn}(x)=-1$ [/mm] und für $x=0$ ist [mm] $\mathrm{sgn}(x)=0$.
[/mm]
Gruß, banachella
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