Totale Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Fr 08.09.2006 | | Autor: | bubble |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \\ \bruch{y^2}{\wurzel{x^2 + y^2}}, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Ist f total differenzierbar in (0,0)? |
Hallo zusammen
Obwohl ich die Definition der totalen Wahrscheinlichkeit durchgelesen habe, weiss ich nicht so genau, wie man das zeigen kann. Gibt es eine Art "Rezept", wobei man dieses immer bei der total Differenzierbarkeit zeigen kann?
bubble
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Also:
Ein Vektorfeld heißt an der Stelle x total differenzierbar, falls eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^m, [/mm] h [mm] \mapsto [/mm] Ah existiert, sodass gilt
f(x+h) = f (x) + Ah + r(h)
wobei [mm] \parallel [/mm] r(h) [mm] \parallel [/mm] = [mm] o(\parallel [/mm] h [mm] \parallel)
[/mm]
also kannst das r(h) eigentlich weglassen ;)
ja.. A ist jetzt die JAcobimatrix.
und wenn das ganze jetzt für x = 0 existiert... dann passts! ;)
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 11.09.2006 | | Autor: | bubble |
Also kriege ich für:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{-xy^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{3/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{y (x^{2} + y^{2})}{(2x^{2} + y^{2})^{3/2}}
[/mm]
Stimmt das?
Ab diesem Punkt weiss ich nie genau, was ich machen muss. Irgendwie muss ich doch nun den Grenzwert in (0,0) berechnen von beiden partiellen Ableitungen berechnen, oder?
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f((0,0) + (h,0)) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(h,0)}{h}
[/mm]
Das würde bei beiden Ableitungen 0 ergeben. Heisst das nun, dass die Funktion total diff'bar ist?
Muss ich auch den Grenzwert von (0,h) berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Di 12.09.2006 | | Autor: | Barncle |
also bei
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] $ hast du denk ich einen fehler, bei mir kommt raus:
$ [mm] \bruch{y (2x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{3/2}} [/mm] $
ja sonst denk ich bist du am richtigen weg, allerdings bin ich mir nicht 100% sicher. auf jeden fall hast du hier nicht den Grenzwert sondern den differenzenquotiernten gebildet. da du aber schon abgeleitet hast, musst du jetzt nurmehr zeigen, dass es stetig ist. also setz mal für y= 0 und x = h und dann lass nur h gegen 0 gehen. und dann umgekehrt, aber nicht noch durch h dividieren! wenn dann beidemale 0 rauskommt passts.
Grüße
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