Totale Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f(x,y) total differenzierbar ist. |
Hallo ihr,
Ich hab mich ein bissal im WWW umgesehen, um herauszufinden, wie man o.a. Frage lösen kann. Ich fand sogar einiges, doch kann ich damit wenig anfangen.
Meines Wissens muss die Stetigkeit bewiesen werden, dh Stetigkeit der gegebenen Funktion f(x,y) und Stetigkeit derer partiellen Ableitungen, ist das richtig? Oder gibt's noch viele andre Sachen, die man da beachten muss?
Ich hoff, mir kann da jemand weiter helfen.
Ich freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Hmm, ja aber Stetigkeit ist doch nur notwendig, nicht aber hinreichend für Differenzierbarkeit, oder? [mm]\bruch{1}{x}[/mm] z.B. ist stetig, aber nicht (überall) differenzierbar.
Ich würde sagen, eine Funktion mehrerer Veränderlicher ist genau dann total differenzierbar, wenn alle (ersten) partiellen Ableitungen existieren. Darüberhinaus muß glaub' ich noch die Jacobimatrix bijektiv sein.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hmm, ja aber Stetigkeit ist doch nur notwendig, nicht aber
> hinreichend für Differenzierbarkeit, oder? [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> z.B. ist stetig, aber nicht (überall) differenzierbar.
Hi, wo ist die Funktion f(x)=1/x denn nicht differenzierbar?
Das einzige, was ich sagen würde, wäre x=0, aber da x=0 nicht zur Definitionsmenge ist, ist es doch differenzierbar überall....
Ich würde z.B. die Wurzelfunktion [mm] y=\wurzel{x} [/mm] an der Stelle x=0 nennen, denn hier ist die Funktion in der Tat nicht differenzierbar.
LG
Kroni
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Das "überall" in der Klammer gelesen? Wer sagt, daß "0" nicht zur Definitionsmenge gehört? Natürlich ist die Funktion "links" und "rechts" von Null differenzierbar, an der Stelle 0 aber nicht.
[mm]\wurzel{x}[/mm] ist natürlich bei 0 ebenfalls nicht differenzierbar, da haste recht. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Das "überall" in der Klammer gelesen?
Jip
>Wer sagt, daß "0"
> nicht zur Definitionsmenge gehört?
Ich, weil bei f(x)=1/x ist [mm] D=\IR \not= [/mm] 0
> Natürlich ist die
> Funktion "links" und "rechts" von Null differenzierbar, an
> der Stelle 0 aber nicht.
Ja, wir hatten diese Sache mit Differenzierbarkeit und Stetigkeit nicht in der Schule, aber auf meine Nachfrage damals hin, wie das bei Definitionslücken ausschaut, sagte mein Lehrer, auch in Bezug auf 1/x, dass diese Funktion differenzierbar wäre, da x=0 nicht mit zu D gehöre.
> [mm]\wurzel{x}[/mm] ist natürlich bei 0 ebenfalls nicht
> differenzierbar, da haste recht.
=)
Kannst ja nochmal drauf antworten.
LG
Kroni
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:24 Mo 07.05.2007 | | Autor: | BAGZZlash |
Och, hab' mal wieder nicht nachgedacht. Peinlich, natürlich haste recht, für "0" ist das natürlich wirklich nicht definiert. Dein Beispiel mit der Wurzelfunktion war also besser.
Ich verkrümel' mich wohl mal besser wieder in meinen Statistik-Thread... :,-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, du brauchst dich nicht verkrümmeln*g*
Lieben Gruß,
Kroni
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f(x,y) total differenzierbar ist. |
Um noch mal kurz zusammenzufassen: Um zu zeigen, dass eine Funktion f(x,y) total diffbar ist, reicht es, die partiellen Ableitungen zu bilden (sofern existent). Wenn sie nicht gebildet werden können, dann gilt, dass die Funktion f(x,y) nicht total diffbar ist, oder? Dh wenn zB eine partielle Ableitung nicht existiert?
Und was hat es eigentlich mit [mm] \limes_{\vec{x}\rightarrow\vec{x_{0}}}\bruch{f(\vec{x})-f(\vec{x_{0}})-<\vec{k},\vec{x}-\vec{x_{0}}>}{||\vec{x}-\vec{x_{0}}||}=0 [/mm] auf sich?
Ich hab gerade noch etwas gefunden: Alle [mm] f_{i} [/mm] seien stetig partiell diffbar. Dann ist f total diffbar! Dann muss ich erst wieder die Stetigkeit der partiellen Ableitungen beweisen, oder?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Dann muss ich erst wieder die Stetigkeit der partiellen Ableitungen beweisen, oder?
Ja, das ist dann wohl so.
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