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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:43 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Lati |
Ich habe hier noch eine sehr ähnliche Aufgabe:
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^2 \to \IR:(x,y) \mapsto \begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{ sonst} \\ 0, & \mbox{ (x,y)=(0,0)} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie f ist im Nullpunkt differenzierbar, aber beide partiellen Ableitungen sind im Nullpunkt unstetig. |
Hallo Robert,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
Ich hab da allerdings noch ein kleines Problem bei einer anderen Aufgabe. Ich hoffe ich nerv dich nicht zu arg
Wie gesagt ist das oben ja eigentlich fast die gleiche Aufgabe wie die davor.
Also ich soll zeigen dass f im Nullpunkt total diffbar ist.
Das muss ich ja wieder über die Definition machen,also diesmal:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel f(x_{0}+h_{x},y_{0}+h_{y})-f(x_{0},y_{0})-Th \parallel [/mm] = 0
Dazu habe ich wieder die partiellen Ableitungen berechnet und erhalte:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 2x(sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-{(x^2+y^2)}^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})*x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] 2y(sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-{(x^2+y^2)}^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})*y
[/mm]
Richtig?
So erstmal zur Diffbarkeit:
Ist T = [mm] \vektor{ 2x(sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-{(x^2+y^2)} ^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})*x \\ 2y(sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-{(x^2+y^2)} ^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})*y} [/mm] ?
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel ((x_{0}+h_{x})^2 +(y_{0}+h_{y})^2)*sin(\bruch{1}{\wurzel{(x_{0}+h_{x})^2 +(y_{0}+h_{y})^2)}}-(x_{0}^2+y_{0}^2)*sin(\bruch{1}{\wurzel{(x_{0}^2+(y_{0}^2)}})-Th \parallel
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{1}{\parallel h \parallel} \parallel ((x_{0}+h_{x})^2 +(y_{0}+h_{y})^2)*sin(\bruch{1}{\wurzel{(x_{0}+h_{x})^2 +(y_{0}+h_{y})^2)}}-(x_{0}^2+y_{0}^2)*sin(\bruch{1}{\wurzel{(x_{0}^2+(y_{0}^2)}})-(\vektor{ 2x_{0}(sin(\bruch{1}{\wurzel{x_{0}^2+y_{0}^2}})-{(x_{0}^2+y_{0}^2)}^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x_{0}^2+y_{0}^2}})*x_{0} \\ 2y_{0}(sin(\bruch{1}{\wurzel{x_{0}^2+y_{0}^2}})-{(x_{0}^2+y_{0}^2)}^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x_{0}^2+y_{0}^2}})*y_{0}}*\vektor{h_{x} \\ h_{y}}) \parallel
[/mm]
Ist das soweit ok so?
Jetzt muss ich irgendwie vereinfachen und man könnte ja z.B. mal den
[mm] sin(\bruch{1}{\wurzel{x_{0}^2+y_{0}^2}}) [/mm] ausklammern, aber irgendwie komm ich dann auch nicht weiter...
Und dann noch zur Stetigkeit:
Ich muss doch zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f'(x) = [mm] f'(x_{0})
[/mm]
Also kann ich doch jetzt hier die 2 partiellen Ableitungen getrennt betrachten oder?
Also für x:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f'(x)=
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} 2x(sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-{(x^2+y^2)}^{-1/2}*cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})*x [/mm]
Aber hier hab ich ungefähr das gleiche Problem wie oben. Wie vereinfach ich denn jetzt hier, dass ich keine 0 mehr im Nenner hab?
Und außerdem weiß ich ja eigentlich auch gar nicht wie [mm] f'(x_{0}) [/mm] definiert ist oder ist das 0?
Vielen Dank für deine Mühe!
Grüße
Lati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lati!
Bitte eröffne in Zukunft für eine neue (eigenständige) Aufgabe auch einen neuen Thread.
Gruß
Loddar
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Hallo Lati!
Versuch es mal mit Matlab.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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