Totzeit bei geg. Phasenreserve < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Eine Totzeitbehaftete Regelstrecke wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
[mm] T_1*\dot x(t)+x(t)=y(t-T_t)+T_2*\dot y(t-T_t)
[/mm]
mit [mm] T_1=10s [/mm] und [mm] T_2=1s
[/mm]
Es wird ein Propotionalregler mit [mm] K_P=4 [/mm] eingesetzt.
Geben Sie den Frequenzgang der Regelstrecke an.
Wie groß darf die Totzeit [mm] T_t [/mm] werden, damit der Regelkreis noch eine Phasenreserve [mm] \phi_R=60^\circ [/mm] besitzt? |
Übertragen in den Bildbereich gibt das folgendes:
[mm] X(s)*(T_1*s+1)=Y(s)*\left(e^{-s*T_t}+T_2*s*e^{-s*T_t}\right)
[/mm]
[mm] X(s)*(T_1*s+1)=Y(s)*e^{-s*T_t}\left(1+T_2*s\right)
[/mm]
[mm] G_s(s)=\bruch{X(s)}{Y(s)}=\bruch{1+T_2*s}{1+T_1*s}*e^{-s*T_t}
[/mm]
Zusammen mit einem Proportional-Regler gibt die ganze Übertragungsfunktion:
[mm] G_0(s)=\bruch{K_P*\bruch{1+T_2*s}{1+T_1*s}*e^{-s*T_t}}{1+K_P*\bruch{1+T_2*s}{1+T_1*s}*e^{-s*T_t}}
[/mm]
[mm] G_0(s)=\bruch{K_P*(1+T_2*s)*e^{-s*T_t}}{1+T_1*s+K_P*(1+T_2*s)*e^{-s*T_t}}
[/mm]
man könnte auch noch mit [mm] \bruch{e^{s*T_t}}{e^{s*T_t}} [/mm] erweitern aber ich weis nciht ob das weiterhilft...
[mm] G_0(s)=\bruch{K_P*(1+T_2*s)}{(1+T_1*s)*e^{s*T_t}+K_P*(1+T_2*s)}
[/mm]
Für den Phasenrand gilt:
[mm] \phi_R=180^\circ+\phi_0(\omega_D)
[/mm]
Dafür müsste ich erstmal ausrechnen bei welcher Frequenz der Betrag der Übertragungsfunktion = 1 ist.
Kommt man da vielleicht auch noch irgendwie mit einem schnellerem einfacheren Weg auf die Lösung?
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 So 30.05.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo tedd,
einen schnellen Weg kenne ich hier auch nicht, Du musst nunmal wissen, bei welcher Frequenz Deine Amplitudenübertragungsfunktion den Wert 1 annimmt.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 31.05.2010 | | Autor: | tedd |
Alles klar...
hm beim rechnen mit komplexen Zahlen habe ich mich schon immer schwer getan.
Wie rechne ich denn jetzt den Betrag aus, bzw. wie trenne ich das in Imaginär und Realteil auf.... normalerweise würde man ja mit dem komplex konjugierten Nenner erweitern nur stört mich dann der [mm] e^{j*\omega*T_t} [/mm] Faktor und dann hätte man ja eine Mischung aus Polar und algebraischer Form und da weis ich dann nicht wie man den Betrag rechnet :(
$ [mm] G_0(j*\omega)=\bruch{K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}}{1+T_1\cdot{}j*\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}} [/mm] $
bzw.
$ [mm] G_0(j*\omega)=\bruch{K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)}{(1+T_1\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{j*\omega\cdot{}T_t}+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)} [/mm] $
Reicht es vielleicht auch den aufgetrennten Regelkreis zu betrachten?
Wie würde ich die Aufgabe mit graphischen Verfahren (Bode-Diagramm oder Ortskurve) lösen können?
Das müsste doch klappen, vorraussetzung wäre, dass man ein Totzeitelement im Bode-Diagramm Asymptotisch annähren kann.
Aber soweit ich das rausfinden konnte ist das leider auch nicht möglich...
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo Tedd,
> Wie rechne ich denn jetzt den Betrag aus, bzw. wie trenne
> ich das in Imaginär und Realteil auf.... normalerweise
> würde man ja mit dem komplex konjugierten Nenner erweitern
> nur stört mich dann der [mm]e^{j*\omega*T_t}[/mm] Faktor und dann
> hätte man ja eine Mischung aus Polar und algebraischer
> Form und da weis ich dann nicht wie man den Betrag rechnet
> :(
>
> [mm]G_0(j*\omega)=\bruch{K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}}{1+T_1\cdot{}j*\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]G_0(j*\omega)=\bruch{K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)}{(1+T_1\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{j*\omega\cdot{}T_t}+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)}[/mm]
die e-Funktion selber leistet keinen Beitrag zum Betrag, nur zur Phase. Bedenke das
Z = [mm] |Z|*e^{arg(Z)*j} [/mm]
erscheint ja auch logisch, ist ja nur die transformierte Zeitverzögerung, tritt also im Amplitudengang nicht auf....
[mm] |G(j\omega)| [/mm] = [mm] \frac{|Zaehler|}{|Nenner|} [/mm] und dann jeweils die e-Funktion auslassen...
>
> Reicht es vielleicht auch den aufgetrennten Regelkreis zu
> betrachten?
>
> Wie würde ich die Aufgabe mit graphischen Verfahren
> (Bode-Diagramm oder Ortskurve) lösen können?
nun in der Ortskurve stellst du die komplexe Zahl (mit Betrag und Phase) für jeden Wert [mm] \omega [/mm] dar, Betrag und Phase musst du aber kennen....
>
> Das müsste doch klappen, vorraussetzung wäre, dass man
> ein Totzeitelement im Bode-Diagramm Asymptotisch annähren
> kann.
gleiches gilt für das Bode-Diagramm. Nur stellst du ja hier Betrag und Phase getrennt voneinander über [mm] \omega [/mm] dar...
Ich kenne kein Verfahren, nachdem man das annähern kann.
> Aber soweit ich das rausfinden konnte ist das leider auch
> nicht möglich...
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 01.06.2010 | | Autor: | tedd |
> Hallo Tedd,
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> [mm]G_0(j*\omega)=\bruch{K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}}{1+T_1\cdot{}j*\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}}[/mm]
>
> die e-Funktion selber leistet keinen Beitrag zum Betrag,
> nur zur Phase. Bedenke das
> Z = [mm]|Z|*e^{arg(Z)*j}[/mm]
> erscheint ja auch logisch, ist ja nur die transformierte
> Zeitverzögerung, tritt also im Amplitudengang nicht
> auf....
> [mm]|G(j\omega)|[/mm] = [mm]\frac{|Zaehler|}{|Nenner|}[/mm] und dann jeweils
> die e-Funktion auslassen...
Dann probier ich mal:
[mm] |Zaehler|=\left|K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}\right|=\sqrt{K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2}
[/mm]
[mm] |Nenner|=\left|1+T_1\cdot{}j*\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j*\omega)\cdot{}e^{-j*\omega\cdot{}T_t}\right|=\sqrt{\left(1+K_P\right)^2+\left(\omega*T_1+\omega*T_2*K_P\right)^2}
[/mm]
[mm] \left|G(j\omega)\right|=\bruch{\sqrt{K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2}}{\sqrt{\left(1+K_P\right)^2+\left(\omega*T_1+\omega*T_2*K_P\right)^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\sqrt{K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2}}{\sqrt{\left(1+K_P\right)^2+\left(\omega*T_1+\omega*T_2*K_P\right)^2}}=1
[/mm]
[mm] \sqrt{K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2}=\sqrt{\left(1+K_P\right)^2+\left(\omega*T_1+\omega*T_2*K_P\right)^2}
[/mm]
[mm] K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2=\left(1+K_P\right)^2+\omega^2*\left(T_1+T_2*K_P\right)^2
[/mm]
[mm] K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2=1+2*K_P+K_P^2+\omega^2*\left(T_1^2+2*T_1*T_2*K_P+\left(T_2*K_P\right)^2\right)
[/mm]
[mm] K_P^2+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2=1+2*K_P+K_P^2+\omega^2*T_1^2+2*\omega^2*T_1*T_2*K_P+\left(\omega*T_2*K_P\right)^2
[/mm]
[mm] 0=1+2*K_P+\omega^2*T_1^2+2*\omega^2*T_1*T_2*K_P
[/mm]
[mm] 0=1+2*K_P+\omega^2*\left(T_1^2+2*T_1*T_2*K_P\right)
[/mm]
[mm] \omega^2=\bruch{-1-2*K_P}{T_1^2+2*T_1*T_2*K_P}
[/mm]
Das kann ja irgendwie nicht sein, da man dann nen imaginäres [mm] \omega [/mm] rauskriegen würde :(
> Gruß Christian
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo tedd,
die getrennte Berechnung des Betrags von Zähler und Nenner ist okay so, aber das heisst leider nicht, dass Du alle e-Funktionen in dem Ausdruck, von dem Du den Betrag bilden willst, einfach vernachlässigen darfst. Im Zähler ist das Okay, da hier die e-Funktion mit dem gesamtem Zählerterm multipliziert wird. Im Nenner leider nicht, denn da hast Du etwas wie
$$ [mm] (a+jb)\cdot e^{-j \omega T} [/mm] + (c +jd) $$
Da Du ja von dem gesamten Ausdruck den Betrag bestimmen musst, musst Du wohl oder übel die e-Funktion auflösen, Real- und Imaginärteil bestimmen und dann darfst Du erst mit dem c + jd-Term zusammenfassen, um daraus den Betrag zu bilden.
Im Nenner steht also ein Ausdruck der Form
$$ (a + jb) [mm] \cdot (\cos [/mm] ( [mm] \omega [/mm] T) - j [mm] \sin (\omega [/mm] T)) + c + jd $$
Du siehst, die Sache wird nicht gerade einfacher.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mo 07.06.2010 | | Autor: | tedd |
Hi Infinit,
Danke für die Antwort.
Na das wird sicher kompliziert, bin soweit gekommen aber ich glaub ich lasse die Aufgabe erstmal sein...
$ [mm] |Nenner|=\left|1+T_1\cdot{}j\cdot{}\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j\cdot{}\omega)\cdot{}e^{-j\cdot{}\omega\cdot{}T_t}\right|=\left|1+T_1\cdot{}j\cdot{}\omega+K_P\cdot{}(1+T_2\cdot{}j\cdot{}\omega)\cdot{}\left(\cos(\omega\cdot{}T_t)-j*\sin(\omega\cdot{}T_t)\right)\right|$
[/mm]
[mm] =\left|1+j\cdot{}T_1\cdot{}\omega+K_P*\cos(\omega*T_t)+T_2*\omega*\sin(\omega*T_t)-j*K_P*\sin(\omega*T_t)+j*\omega
*T_2*\cos(\omega*T_t)\right|
[/mm]
[mm] =\left|1+K_P*\cos(\omega*T_t)+T_2*\omega*\sin(\omega*T_t)+j*\left(T_1\cdot{}\omega-K_P*\sin(\omega*T_t)+\omega
*T_2*\cos(\omega*T_t)\right)\right|
[/mm]
[mm] =\sqrt{\left(1+K_P*\cos(\omega*T_t)+T_2*\omega*\sin(\omega*T_t)\right)^2+\left(T_1\cdot{}\omega-K_P*\sin(\omega*T_t)+\omega
*T_2*\cos(\omega*T_t)\right)^2}
[/mm]
......
Danke und Gruß,
tedd 
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