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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mo 09.07.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo, ich habe eine Frage zu der Berechnung vom Trägheitsmoment. Auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite
wird er hergeleitet.
(Seite 1)
Ich verstehe nicht, wie man dort von 4. auf den 5. Schritt kommt. Dieses Problem liegt in dem Zusatz "dm". In der Gleichung steht doch nirgendswo die Variable m.
Zur Analogie:
Integral 5x dx.
Das heißt soviel wie teile die x Achse in unendlich kleine Stücke, berechne den Funktionswert an diesen Stellen und summiere.
Aber in dem genantnen Link habe ich echt keine Ahnung, wie man von Schritt 4 auf Schritt 5 kommt.
Man will ja insgesammt rechnen:
I = m1 * [mm] r1^2 [/mm] + m2 * [mm] r2^2 [/mm] + m3 * [mm] r3^2 [/mm] ...
Inwiefern deckt aber Gleichung 5 diese Rechnung ab?
Dankeschön...
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Hallo!
Dieser Schritt ist genau das, was das Intergrieren aus macht.
Integrieren ist doch das Aufsummieren über unendlich viele, unendlich kleine Stückchen.
Hier geht es darum, deinen Körper in kleine Massepunkte zu zerlegen. Diese Massepunkte, multipliziert mit r²,also ihrem Abstand zur Achse, ergeben deren jeweiliges Trägheitsmomente. Die müssen noch aufsummiert werden.
Nun, wenn die Massen immer kleiner (und dafür zahlreicher) werden, wird aus dem SUmmenzeichen ein Integralzeichen und aus dem m ein dm.
Erinnere dich an die Einführung der Integrale in der Schule. Da gab es die Ober- und Untersummen. Man zerlegte die Fläche unter der Funktion un viele schmale Rechtecke. Deren Höhe war f(x), und deren Breite meinetwegen [mm] $\Delta [/mm] x$. Man hat all diese Rechtecke aufsummiert:
[mm] $A=\sum [/mm] f(x) [mm] \Delta [/mm] x$
Das wird letztendlich auch zu einem Integral:
[mm] $A=\integral [/mm] f(x) dx$
Allerdings muß ich sagen, diese Zerlegung ist etwas ungewöhnlich. Normalerweise integriert man über das Volumen, denn das hängt über die Dichte mit der Masse zusammen:
[mm] $\theta=\integral r^2 \rho dV=\rho \integral r^2 [/mm] dV$
Das bezieht sich direkt auf die geometische Form des Körpers und hat noch einen weiteren Vorteil: Wenn die Dichte des Stoffes nicht konstant ist, ist ja das [mm] \rho [/mm] vom Ort abhängig. Es bleibt dann innerhalb des Integrales stehen, und wird automatisch berücksichtigt, wenn über das Volumen integriert wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo, vielen Dank, dass du mir hilfst!
Das Problem ist bei mir, ich habe mich während der Schulzeit nicht viel mit den Hintergründen von Integralen beschäftigt, sondern eher das berechnen davon.
Du schreibst "Man hat all diese Rechtecke aufsummiert:", gefogt von einer Formel.
Aber ich kann doch für x in f(x) nicht jeden beliebigen Wert einsezen, sondern immer nur bestimmte:
AGesamt= Δ *(f(a+0* Δ)+f(a+1* Δ)+f(a+2 Δ)+...+f((a+(n-1))* Δ)
also im Argument von f steht hier nicht jede beliebige x-Zahl sondern eine in Abhängigkeit von der Streifenbreite.
Inwiefern ist das bei dir dennoch berücksichtigt?
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Ja doch, die Höhe jedes Rechtecks läßt sich doch durch f(x) bestimmen, man muß für x nur die Position des Rechtecks einsetzen.
Die Breite ist nun aber [mm] \Delta, [/mm] und deshalb sind die Positionen also [mm] $x=a+i*\Delta$. [/mm] Das macht man, um diese Reihen grenzwerttechnisch berechnen zu können. Das Integral "erspart" einem dieses Grenzwertrechnen.
Und: irgendwann sind die Rechtecke doch nur noch Striche, und dann gibt es in der Summe mehr oder weniger auch JEDES x.
Aber ich muß sagen, du hast recht. In der Schule lernt man viel zu viel, wie man Integrale berechnet, aber konkrete Anwendungen wie hier, die du in der Physik ständig hast, kommen zu kurz. Im Unterricht gibt es sich höchstens mal im Physik-LK, wo der Lehrer das mal zeigt und die Schüler staunen. In Mathe steht das höchstens als abschließendes Kapitel ganz hinten, dabei solle es ganz vorne stehen. Bei den Ableitungen ist es nicht viel anders. Sicher, da gibt es häufiger solche Aufgaben ala "es gibt 50m zaun, wie groß wird der Garten", aber das auch eher später als früher. Aber so richtig, daß man das verinnerlicht, ist das auch nicht.
Aber gut, ich weiß nicht, was du studierst, aber in den technischen oder physikalischen Fächern wirst du das recht schnell lernen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ja, die Höhe wird über f(x) bekannt, jedoch:
Woher weiß das Integral, dass nur Vielfache der Streifenbreite da reindürfen (siehe meine "Formel"). Es steht ja in etwa so da
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}f(a+ [/mm] i* Δ)
im Integral aber nur noch
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Wieso reicht es beim Integral aus, nur f(x) zu schreiben, das ist der Punkt der mir zu bedenken gibt.
Du schreibst die Streifen werden irgendwann unendlich schmal, ist das diese Begründung? Müsste man dann nicht genau genommen noch x definieren und sagen es MUSS wirklich JEDE Zahl sein, genau genommen darf man ja nicht eine einzige Zahl weglassen, oder?
Eine weitere Frage zu dem Trägheitsmoment.
Wie habe ich in der Formel (5) r zu versehen ? (Das wäre ja die Analogie zu dem f(x) von vorhin.
Hier darf die Variable r ja eben nicht jede beliebige Zahl sein.
Möchte man z.B. den Trägheitsmoment einer Kugel berechnen, darf r ja z.B. den Radius der Kugel nicht überschreiten.
anderes Beispiel:
Wenn man sich ein Stück einer Kugel vorstellt, (also ein Teil ist hohl, ab einem bestimmten Radius ist sie aber ausgefüllt) dann müsste der Radius in dem Integral doch auch irgendwie eingegrenzt werden.
Wie erfolgt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
P.S.
Bleiben wir mal bei dem Beispiel mit der Kugel. Ich habe ein weiteres Verständnisproblem :(
Wenn ich in Formel (5) den Wert vom Radius der gewünschten Kugel einsezte, habe meines Verständnisses nach nur alle Massepunkte erfasst, die genau (!) r vom Mittelpunkte entfernt sind. Stellt man sich aber eine komplett ausgefüllte Kugel vor, müsste ich doch alle Werte einsetzen, die auch kleienr als r sind, weil die ja auch mit Masse ausgefüllt sind. Und eben nicht nur die Punkte, die exakt r vom Mittelpunkt entfernt sind. Verstehst du, wie ich das meine?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 10.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Wenn ich in Formel (5) den Wert vom Radius der gewünschten
> Kugel einsezte, habe meines Verständnisses nach nur alle
> Massepunkte erfasst, die genau (!) r vom Mittelpunkte
> entfernt sind. Stellt man sich aber eine komplett
> ausgefüllte Kugel vor, müsste ich doch alle Werte
> einsetzen, die auch kleienr als r sind, weil die ja auch
> mit Masse ausgefüllt sind. Und eben nicht nur die Punkte,
> die exakt r vom Mittelpunkt entfernt sind.
Du verstehst die Formel falsch, du darfst nicht einfach den Radius der Kugel einsetzen. Statt dessen musst du den "passenden" Radius einsetzen, oder anders ausgedrückt: für jeden gegebenen Radius nur die Massen nehmen, die gerade diesen Abstand der Achse haben, und dann über alle möglichen Werte integrieren, also von Null bis zum Radius der Kugel. Stell dir die Kugel vor als lauter Schalen (wie eine Zwiebel): jede Schale hat einen anderen Radius. Aber das ist eher theoretisch, praktisch macht man es etwas anders.
In der Formel (4) steht:
[mm] I = \sum\limits_{i=1}^n r_i^2 m_i[/mm]
Hier ist noch klar, dass du für jedes [mm]m_i[/mm] eines Massenpunktes einen anderen Wert [mm]r_i[/mm] für seinen Abstand von der Rotationsachse einsetzt.
Jetzt machen wir den Schritt von Massenpunkten zur kontinuierlichen Massenverteilung. Dazu zerlege ich den Körper in lauter kleine Stücke, numeriert von 1 bis n. Die Massen der Stücke seien [mm]\Delta m_i[/mm], der Abstand von der Achse ist wieder [mm]r_i[/mm], also für jedes Stück ein anderer. Dann ist das Trägheitsmoment
[mm] I = \sum\limits_{i=1}^n r_i^2 * \Delta m_i[/mm]
Lasse ich die Massenstücke immer kleiner werden, bekomme ich im Grenzwert das Integral
[mm] I = \integral_0^m r(m)^2 dm [/mm],
womit ich ausdrücken will, dass ich in jedem Fall den "passenden" Radius nehmen muss.
Am Beispiel der homogenen Kugel mit Radius [mm]R[/mm] wird das klarer: da kann ist die Masse ja gerade Massendichte mal Volumen schreiben ([mm]m= \rho*V[/mm]), sodass man das Integral schreiben kann als
[mm] I = \integral_0^V r^2 \rho \,dV [/mm]
Das Volumenintegral schreibt man wegen der Symmetrie bezüglich der Rotationsachse am besten in Zylinderkoordinaten.
Anschaulich ist das hier ganz gut erklärt.
Hilft dir das weiter?
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo Rainer,
Ohh Ja, das hilft mir weiter. Hoffe ich zumindest 
Allerdings auch nur soweit wie du schreibst, bei deiner Internetadresse hört es dann leider auf.
Ich fasse nochmal mein Verständnis zusammen, für eine Kugel mit dem Radius 3.
I = [mm] \integral_{0}^{3}{r^{2} dm} [/mm] = [mm] 0,0000001^2 [/mm] * m + [mm] 0,0000002^2 [/mm] * m + [mm] 0,0000003^2 [/mm] ... + [mm] 3^2*m
[/mm]
wobei m eine sehr kleine Zahl ist.
Und eigentlich geht es auch nicht mit 0,0000001 los, sondern etwas noch viel kleinerem.
Soweit okay?
Dann stellt sich mir ein Problem: Man hat quasi nur eine Linie erfasst. Man hat also das ganze mehr oder weniger nur eindimensional.
Ich denke, jetzt kommt die Sache mit dem Volumen ins Spiel, das ist nach meinem Verständnis jetzt dazu gut um auch den Raum abzudecken !?
Ist das soweit richtig verstanden?
Ich wäre sehr dankbar, wenn wir das mit dem Volumen auch klären könnten mit dem Link komme ich leider nicht klar. Ich hatte auch in der ganzen Oberstufe kein Physik, also ich weiß auch nicht warum du "pdV" anstatt m schreibst.
Grüße,
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 10.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo svenchen
mit dem dm bei [mm] r^2 [/mm] ist die gesamte Masse gemeint, die im Abstand r ist, bei einem Zylinder wär das ein ganz dünner Hohlzylinder der Dicke dr, also wäre [mm] dm=\rho*dV=2\pi*r*H*dr
[/mm]
bei einer dünnen Stange, die man um die Mitte dreht, wäre [mm] dm=2*\rho*dr [/mm] wobei hier [mm] \rho=Masse [/mm] pro Länge wär. usw. Wenn der Körper komplizierte wird ist auch das dm entsprechend komplzierter und nicht immer einfach zu finden, vielleicht sollte man deshalb genauer schreiben dm(r), das ist jeweils das schwierigste was man beim Trägheitsmoment, wenn man es wirklich ausrechnen will bestimmen muss!
übrigens: es ist nicht der sondern das Moment -der Moment ist ein Augenblick!-
Das Drehmoment ,das Trägheitsmoment usw-
also in diesem Moment rechnest du das Trägheitsmoment aus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ok, danke für deine Erklärung, das Beispiel habe ich jetzt endlich doch verstanden, ich habe mir hier alles nochmal durchgelesen.
Was mir jedoch noch rätselhaft erscheint ist wie man das ganze jetzt auf beliebig geformte Körper überträgt.
Ich habe mal eine Beschreibung angehägt, jedoch verstehe ich nicht, wie man da auf das zweite Integral kommt (die Stelle, wo der Wert für r eingesetzt wurde).
Wieso kann man von irgendeinem Teil dm in dem Körper ausgehen?
Und wieso gibt es hier keine Integrationsgrenzen?
Also ich verstehe garnicht wie man hier auf den Trägheitsmoment kommen soll, bei den Beispielen von vorhin ist es mir jetzt aber hoffentlich klar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 10.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du da gepostet hast, ist der Beweis für den Steinerschen Satz! Der Autor sagt an keiner Stelle, dass er auf irgendeine einfache Weise das Trägheitsmoment des Körpers bei der Drehachse durch den Schwerpunkt bestimmen kann!! und das könnte er auch nicht, bzw nur angenähert numerisch, oder durch ein Experiment!
Jetzt sagt das, was da steht nur WENN ! man das Trägheitsmoment für die Achse die durch S geht kennt, DANN kann man das TM auch für eine andere Achse bestimmen! mehr steht da nicht.
denk dran: wenn meine Oma Räder hät wär sie ein Omnibus. WENN der Mond aus grünem Käse ist, hast du in 1/2 Jahr dein Diplom usw!
Nochmal, wenn der Körper keine einfache Form hat, oder man ihn in wenige einfache Formen zerlegen kann, wird die Angabe von dm(r) beliebig kompliziert, und also nicht mehr wirklich machbar. Allein schon einen Körper wie den in deinem Bild gezeichneten mathematisch darzustellen ist fast unmöglich!
Deshalb bestimmt man das TM für komplizierte Körper einfach experimentell muss dabei aber nur mit Achsen durch S experimentieren, der Rest ist dann Steinerscher Satz.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 10.07.2007 | | Autor: | svenchen |
Achso, ja da hab ich dann was falsch verstanden.
Ich werde dann einfach mal im Internet über diesen Satz suchen, vielleicht findet sich ja eine schöne Beschreibung.
Ansonsten herzlichen Dank an alle Helfer 
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