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Träghessatz von Sylvester(nach unserem Script)
Jede invertierbare symmetrische Matrix [mm] B\in M_n(\IR) [/mm] ist zu Diagonalmatrix verwandt, deren ersten t Diagonaleinträge 1 und n-t Diagonaleinträge -1 sind.
Wie bekomme ich diesen Trägheitsindex heraus?
Also was ich weiß, dass man eigentlich nur die Anzahl der positiven und die Anzahl der negativen Eigenwerte berechnet und dann mit "Anzahl der negativen"-"Anzahl der positiven" den Träghetsindex bestimmt.
Aber:
Mir ist gerade nicht ganz klar, warum mir das dann auch schon sagen soll, dass die einträge dann auch 1 und -1 sind und nicht zum beispiel einfach die eigenwerte.
Kann mir da jemand helfen?
Verwandt bedeutet ja folgendes A,B verwandt: dann existiert ein S in $ [mm] Gl_n(K) [/mm] $ , so, dass B = S^tAS
Hat es damit etwas zu tun??
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> Träghessatz von Sylvester(nach unserem Script)
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> Jede invertierbare symmetrische Matrix [mm]B\in M_n(\IR)[/mm] ist zu
> Diagonalmatrix verwandt, deren ersten t Diagonaleinträge 1
> und n-t Diagonaleinträge -1 sind.
>
> Wie bekomme ich diesen Trägheitsindex heraus?
Hallo,
soweit ich weiß, ist ja der Trägheitsindex die Differenz zwischen den Anzahlen der positiven und negativen Eigenwerte.
Wenn die symmetrische Matrix nicht invertierbar ist, hat sie keine Eigenwerte, welche =0 sind. (Warum eigentlich?)
Sind t Eigenwerte >0, so kann es doch nicht anders sein, als daß der Trägheitsindex= Anz.pos. - Anz.neg =t - (n-t)=2t-n ist.
> Also was ich weiß, dass man eigentlich nur die Anzahl der
> positiven und die Anzahl der negativen Eigenwerte berechnet
> und dann mit "Anzahl der negativen"-"Anzahl der positiven"
> den Träghetsindex bestimmt.
Genau.
> Aber:
>
> Mir ist gerade nicht ganz klar, warum mir das dann auch
> schon sagen soll, dass die einträge dann auch 1 und -1 sind
> und nicht zum beispiel einfach die eigenwerte.
Dein Satz oben sagt ja nur, daß Du die symmetrische Matrix A so zurechtbiegen kannst durch T^TAT, daß sie auf der Diagonalen nur [mm] \pm [/mm] 1 hat.
Wie geht das? Wenn die Matrix A symmetrisch ist mit Eigenwerten [mm] \lambda_1,...,\lambda_n, [/mm] finden wir eine orthogonale Matrix B so, daß
[mm] diag(\lambda_1,...,\lambda_n)=B^{-1}AB. [/mm]
Ist A invertierbar, so sind die [mm] \lambda_i\not=0, [/mm] und man kann folgendes tun:
[mm] diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1})B^{-1}ABdiag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) [/mm] =
[mm] diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1})diag(\lambda_1,...,\lambda_n)diag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) =diag(\lambda_1/|\lambda_1|,...,\lambda_n/|\lambda_n|
[/mm]
Hier ist dann mit [mm] T:=Bdiag(|\lambda_1|^{-1},...,|\lambda_n|^{-1}) [/mm] die Situation Deines Satzes hergestellt.
Gruß v. Angela
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