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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Vektor [mm] \vec{a} [/mm] im (x1;x2;x3)-Koordinatensystem.
Gesucht sind die Elemente der Transformationsmatrix M die sich ergibt wenn der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{a} [/mm] ´´´ wie folgt transformiert wird:
1. Drehung mit dem Winkel [mm] \gamma [/mm] um z-Achse
2. Verschiebung um den Vektor [mm] \vec{d}=(dx1;dx2;dx3) [/mm] im mitgedrehten Koordinatensystem
3. Drehung mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] um die x-Achse im mitgedrehten und verschobenen Koordinatensystem |
Hi an alle !
Also die Matrizen für die Rotationen und die Translation hab ich .. ich bin mir eigentlich nur nicht sicher ob das stimmt was ich gemacht hab. also:
Drehung mit dem Winkel [mm] \gamma [/mm] um die z-Achse:
[mm] \vec{a} [/mm] ´ = [mm] Rz*\vec{a}
[/mm]
die Verschiebung soll im mitgedrehten Koordinatensystem stattfinden:
[mm] \vec{a} [/mm] ´´ = [mm] (Rz*\vec{a})*Vb
[/mm]
dann die Drehung mit dem winkel [mm] \alpha [/mm] um die x-Achse im mitgedrehten und verschobenen Koordinatensystem:
[mm] \vec{a} [/mm] ´´´ = [mm] [(Rz*\vec{a})*Vb]*Rx
[/mm]
somit ergibt sich die Transformationsmatrix doch aus dem Matrixprodukt:
M = [mm] (Rz*Vb*Rx)^{-1} [/mm] ??
aber irgendwie komisch find ich ..
danke schon mal für die Hilfe !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 27.01.2009 | | Autor: | Rene |
Moin,
Dein Ergebnis ist schon richtig, nur wie du da hin gekommen bist, ist ein bisschen merkwürdig.
Ich mein damit konkret die Zeile [mm] a'' = (R_z a)V[/mm]. Spaltenvektor mal Matrix? Was soll denn dabei rauskommen. Das geht nicht!
Stichwort hier zum Beispiel Denavit-Hartenberg. Du berechnest dir die Transformationsmatrix die beschreibt, wie dein Endframe (Koordinatensystem)=B aus dem Weltframe (Ursprungskoordinatensystem)=A entsteht. Dafür gilt hier Rotiere -> Verschiebe -> Rotiere.
[mm] T_{A\rightarrow B} = Rot(z)Shift(d)Rot(x)[/mm]
Um jetzt die Koordinaten eines Punktes aus B in A umrzurechnen gilt
[mm]p_A = T_{A\rightarrow B}\cdot p_B[/mm].
Laut deiner Aufgabe hast du [mm]p_A[/mm] (a) gegeben und sollst [mm]p_B[/mm] (a''') berechnen. Es gilt also
[mm] a=T_{A\rightarrow B} \cdot a'''[/mm]
[mm]\Rightarrow a''' = T_{A\rightarrow B} ^{-1}\cdot a = \underbrace{(Rot(z)Shift(d)Rot(x))^{-1}}_{M}\cdot a[/mm]
MFG
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Hallo !
Danke für die Antwort. Wahrscheinlich muss ich die Komponenten von dem Verschiebungsvektor [mm] \vec{b} [/mm] einfach in die Translationsmatrix einsetzten ?
Also wenn T diese Matrix ist, dann gilt:
M = ( [mm] Rz*T*Rx)^{-1}
[/mm]
Also ist das jetzt so, dass man einfach die Matrizen der Reihe nach multipliziert ?
z.b bei
1. Drehung um x-achse
2. Spiegelung an (xy)-Ebene
3 Verschiebung um [mm] \vec{b}
[/mm]
Transformationsmatrix M = [mm] (Rx*S*T)^{-1} [/mm] ? Oder muss man doch gewisse Dinge beachten ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Gegeben ist ein Vektor [mm]\vec{a}[/mm] im
> (x1;x2;x3)-Koordinatensystem.
> Gesucht sind die Elemente der Transformationsmatrix M die
> sich ergibt wenn der Vektor [mm]\vec{a}[/mm] auf [mm]\vec{a}[/mm] ´´´ wie
> folgt transformiert wird:
> 1. Drehung mit dem Winkel [mm]\gamma[/mm] um z-Achse
> 2. Verschiebung um den Vektor [mm]\vec{d}=(dx1;dx2;dx3)[/mm] im
> mitgedrehten Koordinatensystem
> 3. Drehung mit dem Winkel [mm]\alpha[/mm] um die x-Achse im
> mitgedrehten und verschobenen Koordinatensystem
> Also die Matrizen für die Rotationen und die Translation
> hab ich
Na dann schreib die mal her.
> .. ich bin mir eigentlich nur nicht sicher ob das
> stimmt was ich gemacht hab. also:
>
> Drehung mit dem Winkel [mm]\gamma[/mm] um die z-Achse:
> [mm]\vec{a}[/mm] ´ = [mm]Rz*\vec{a}[/mm]
Richtig!
> die Verschiebung soll im mitgedrehten Koordinatensystem
> stattfinden:
> [mm]\vec{a}[/mm] ´´ = [mm](Rz*\vec{a})*Vb[/mm]
Wichtig ist, das du die Transformationsmatrizen immer von links "dranmultiplizierst". Es sollte also heissen:
[mm]\vec{a}''[/mm] = [mm]Vb*(Rz*\vec{a})[/mm]
und
[mm]\vec{a}'''[/mm] = [mm]Rx*[Vb*(Rz*\vec{a})][/mm]
> somit ergibt sich die Transformationsmatrix doch aus dem
> Matrixprodukt:
> M = [mm](Rz*Vb*Rx)^{-1}[/mm] ??
> aber irgendwie komisch find ich ..
Find ich auch, wie kommst du da drauf?
Die Matrizen werden eine nach der anderen miteinander multipliziert, das ist dann deine Transformationmatrix(Matrizenmultiplikation ist distributiv aber nicht kommutativ, bedeutet: In welcher Reihenfolge du multiplizierst, ist egal, Hauptsache die Matrizen stehen an der richtigen Position)
Schreib am besten deine Rechnung und die Rechenschritte mal auf, dann kann man das Ergebnis besser nachvollziehen.
Gruss,
hotblack
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