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Hallo wertes Forum!
Ich versuche jetzt schon eine Weile verzweifelt eine Transformationsmatrix zu konstruieren, die die y-Komponente eines beliebigen Punktes (x,y,z) um die Höhe der y-Komponente am Schnittpunkt mit der Ebene bei (x,z) verschiebt.
Zunächst erst einmal die Frage, ob es überhaupt eine passende Transformationsmatrix gibt.
Wenn dies so ist, würde mich ein Lösungsansatz oder sogar eine komplette Lösung natürlich brennend interessieren.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
So recht verstehe ich die Frage nicht, esei denn aus
(1, 2, 3) soll (1, 4, 3) werden.
Aber auf jeden Fall ist die Translation keine lineare Abbildung, es gibt daher eigentlich ("Ausnahme" gleich) keine Matrix die eine Translation beschriebt.
Will man eine Translation trotzdem mit festen Werten x (dx) nach y (dy) oder (dz) haben, kann man das ebenfalls mit einer kleinen Erweriterung als Matrixmultiplikations ausdrücken:
Alle x (x1, x2, x3) sollen um dx, dy, dz verschoben werden:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & dx\\ 0 & 1 & 0 & dy\\ 0 & 0 & 1 & dz\\ 0 & 0 & 0 & 1} \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ 1}
[/mm]
Aber ich habe das dumpfe Gefühl du wolltest auf was anderes hinaus :)
Grüße Mumrel
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Ja, aus (x,y,z) soll (x,y+dy,z) werden.
Kann so etwas nicht in einer transformationsmatrix abgebildet werden, wenn dy von (x,y,z) abhängig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 10.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Lieber Feierabend,
Bei Deiner ursprünglichen Frage...
> Ich versuche jetzt schon eine Weile verzweifelt eine Transformationsmatrix zu konstruieren,
> die die y-Komponente eines beliebigen Punktes (x,y,z) um die Höhe der y-Komponente am
> Schnittpunkt mit der Ebene bei (x,z) verschiebt.
habe ich das gleiche Problem wie Murmel: Ich begreife sie nicht, da mir nicht klar ist,
was Du mit der "Höhe der y-Komponente am Schnittpunkt mit der Ebene bei (x,z)" meinst.
Aber dennoch auf Deine aktuelle Frage:
Du kannst prinzipiell jede Abbildung $f$ von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$ [/mm] in Form einer Matrix
darstellen sofern $f$ linear ist.
Dir schwebt offenbar eine Funktion $f(u)$ mit $u=(x,y,z)$ vor. Prüfe ihre Linearität!
D.h.: Prüfe ob für alle [mm] $u,v\in\IR^3$ [/mm] gilt, dass
$f(u+v) = f(u) + f(v)$,
und ob für alle Konstanten [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] gilt, dass
[mm] $f(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] f(u)$
Wenn das nicht klappt ist Deine Abbildung nicht linear und Du kannst das Thema
Matrix bei Deinem Problem vergessen.
Wenn es aber klappt kannst Du Dich auf die Suche nach der Matrix begeben.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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OK, sorry dass ich mich nicht verständlich ausgedrückt habe.
Es ist eine Ebene im Raum (je nach belieben) definiert.
Ich suche nach einer Translationmatrix, mit der ich jeden beliebigen Punkt P(x,y,z) so transformieren kann, sodass ich den transformierten Punkt Pt(x,y+dy,z) erhalte.
Dabei ist dy die y-Komponente des Schnittpunkts von der Ebene und der Geraden, die durch P(x,y,z) und P2(x,y+k,z) geht.
Eine Punktmenge die z.B. einen Quader beschreibt, würde also zu einem Parallelepiped transformiert, wenn die Ebene nicht parallel zur Basis ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Feierabend,
so wie ich dass bisher verstanden habe, suchst du eine Projektionsmatrix, die entlang der y-Achse auf eine beliebige Ebene projiziert. Das geht allein durch eine Matrix nur, wenn die Ebene durch den Ursprung geht, ansonsten musst du erst auf die entsprechende parallele Ursprungsebene projizieren und das Ergebnis wieder um [mm] \vektor{0 \\ s \\ 0} [/mm] verschieben, wobei (0, s, 0) der Schnittpunkt deiner Eben mit der y-Achse ist (also ist s der y-Achsenabschnitt). Das aber wie gesagt nur, wenn die Eben keine Ursprungsebene ist.
Nehmen wir jetzt einfach mal an, diene Ebene geht durch den Ursprung und wird durch die Vektoren [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und [mm] \vektor{u \\ v \\ w} [/mm] aufgespannt. Die Projektionsmatrix nennen wir mal P (P ist natürlich eine 3x3-Matrix)
Bei deiner Projektion gilt ja jetzt: Jeder Punkt auf der y-Achse wird auf den Ursprung projiziert (später nennt man das die y-Achse ist Eigenraum zum Eigenwert 0 bzw. die y-Achse ist der Kern der Abbildung, aber diese Begriffe brauchst du eigentlich gar nicht)
Also können wir über P schon einiges sagen: P= [mm] \pmat{a & 0 & b\\c & 0 &d\\ e &0 &f}
[/mm]
Das muss so sein, da ja gelten soll: [mm] P*\vektor{0 \\ \lambda \\ 0}=\pmat{a & g & b \\ c & h & d \\ e & i & f}\vektor{0 \\ \lambda \\ 0}= \vektor{a*0+g*\lambda+b*0 \\ c*0+h*\lambda+d*0 \\ e*0+i*\lambda+f*0}=\vektor{g*\lambda \\ h*\lambda \\ i*\lambda}\stackrel{!}{=}\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g=h=i=0
Eine weitere Eigenschaft deiner Projektion ist: Punkte, die schon auf der Ebene liegen, werden auf sich selber abgebildet (wieder mit Fachbegriffen die Ebene ist Eigenraum zum Eigenwert 1). Also schreiben wir das einfach mal für [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und [mm] \vektor{u \\ v \\ w} [/mm] hin:
[mm] P*\vektor{x \\ y \\ z}=\pmat{a & 0 & b \\ c & 0 & d \\ e & 0 & f} \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{ax+bz \\ cx+dz \\ ex+fz}\stackrel{!}{=}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] P*\vektor{u \\ v \\ w}=\pmat{a & 0 & b \\ c & 0 & d \\ e & 0 & f} \vektor{u \\ v \\ w}=\vektor{au+bw \\ cu+dw \\ eu+fw}=\vektor{u \\ v \\ w}
[/mm]
Wir haben jetzt also 6 Gleichungen, um unsere 6 noch verbleibende Variablen a, b, c, d, e, f zu bestimmen:
ax+bz=x
cx+dz=y
ex+fz=z
au+bw=u
cu+dw=v
eu+fw=w
Da x, y, z, u, v, w ja durch die Ebene gegeben sind, lassen sich so die restlichen Variablen bestimmen und man erhält die Projektionsmatrix P.
Wenn du keine Ursprungsebene hast, musst du wie oben schon erwähnt noch den Schnittpunkt (0,s,0) mit der y-Achse bestimmen (für Ursprungsebenen ist s=0) und für die Erstellung der Matrix die parallele Ursprungsebene verwenden.
Deine Abbildung des Punktes [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] auf den Punkt [mm] (x_1', x_2', x_3') [/mm] schaut dann insgesamt so aus:
[mm] \vektor{x_1' \\ x_2' \\ x_3'}=\left[ P*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\right] +\vektor{0 \\ s \\ 0}=\left[ \pmat{a & 0 & b \\ c & 0 & d \\ e & 0 & f}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}\right] +\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
So, ich hoffe das war ungefähr das, was du gesucht hast,
Gruß,
Vreni
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Vielen Dank für die ausführliche(n) Antwort(en)!
Jedoch ist das Produkt von der gesuchten Matrix und dem Punkt (k,0,m) immer Null und nicht beim Punkt (0,l,0).
Gegeben ist der Punkt P(x,y,z) und die Ebene E.
Der Schnittpunkt von der gegebenen Ebene und der Geraden, die parallel zur y-Achse liegt und durch durch den Punkt P verläuft, soll S(sx,sy,sz) sein.
Der Punkt soll nun an der Ebene gespiegelt werden, die parallel zur x- und y-Achse liegt und auf der sich der Schnittpunkt S befindet.
Gesucht ist also die Matrix T, wobei T*P=(x,y+sy,z)
Ich hoffe dass dies nun eindeutig ist.
Bisher habe ich es trotz einiges Bemühen nicht geschafft ein lösbares Gleichungssystem dazu zu finden.
Nochmal Danke für Eure tapfere Geduld! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 13.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Ja, aus (x,y,z) soll (x,y+dy,z) werden.
> Kann so etwas nicht in einer transformationsmatrix
> abgebildet werden, wenn dy von (x,y,z) abhängig ist?
Also wenn es wenigstens immer das gleiche dy wäre dann kann man das auf die Art wie oben angegeben machen (künstliche Erweiterung um die paar Komponenten). Die Abbildung Translation ist aber halt nicht linear, deswegen diese künstliche Erweiterung.
Aber wie man das mit einem variablen (vom Vektor abhänigen) dy machen kann, da bin ich überfragt. Vielleicht ist es auch einfach nicht möglich.
Aus Interesse, arbeitest du da an was? ;)
Grüße Murel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Feierabend |
Ich habe es noch mal genauer beschrieben (siehe oben).
Was ich mit dem ganzen erreichen will, ist in einem 3D-Programm Objekte so zu transformieren, dass sie auf einer Ebene flach aufliegen, dabei aber nur die Höhendaten verändert werden, sodass z.B. die Seiten eines Würfel-Objektes weiterhin senkrecht zur Koordinatenebene x,z sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Fr 10.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hab ich dich richtig verstanden? Ein Würfel etwa schwebt über einer beliebigen Ebene. du willst seine Unterseite auf die Ebene projizieren, seine Obersete auf eine parallele Ebene? oder was passiert mit der Oberseite?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Feierabend |
Richtig, allerdings ist ein Würfel nur ein Beispielobjekt.
Es geht um die allgemeine Transformation beliebiger Punkte nach dem genannten Schema.
Dabei soll die Transformation ausschließlich mittels der Multiplikation von einer einmalig (anhand der Ebene) festgelegten Transformationsmatrix mit den einzelnen Punkten erfolgen.
Wie man den gesuchten Schnittpunkt errechnet ist natürlich klar - was mir aber Schwierigkeiten bereitet ist die Konstruktion der Transformationsmatrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Sa 11.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn verschiedene Pkte auf verschieden parallele Ebenen projiziert werden ist es keine lin. Abbildung und deshalb gibt es keine Matrix.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Feierabend |
Es gibt nur eine Ebene.
Ich habe das etwas genauer bei der letzten Frage beschrieben:
Es ist eine Ebene im Raum (je nach belieben) definiert.
Ich suche nach einer Translationmatrix, mit der ich jeden beliebigen Punkt P(x,y,z) so transformieren kann, sodass ich den transformierten Punkt Pt(x,y+dy,z) erhalte.
Dabei ist dy die y-Komponente des Schnittpunkts von der Ebene und der Geraden, die durch P(x,y,z) und P2(x,y+k,z) geht.
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