Transformieren Ansatzfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 13.02.2010 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | Auf einem Gasherd werden 10l Wasser erhitzt und folgende Messerte aufgezeichnet
Zeit: x Temperatur: y
P1(0,14) P2(2,18) P3(5,78) P4(10,100)
Transformieren Sie die nicht-lineare Ansatzfunktion y = [mm] ae^{mx} [/mm] in eine Gerade und bestimmen Sie die Geradengleichung und die Unbekannten a und m [mm] (\in [/mm] R) rechnerisch und zeichnerisch. |
die Geradengleichung ist ja y=mx+b
also zeichnerisch leg ich einfach eine gerade zwischen die Punkte, und bestimm dann b und m. (richtig ????)
und rechnerisch weiß ich, dass meine Geradengleichung wie folgt aussieht:
ln(y) = mx+ln(a)
nun meine Frage, was ist denn das a genau? oder wie bestimme ich a?
und wie Hilft mir die Ansatzfunktion hierbei?
wie sind nun meine weiteren Schritte? was muss ich machen?
vielen Dank für Eure Hilfe.
Mfg
jojo1484
|
|
| |
|
> Auf einem Gasherd werden 10 Liter Wasser erhitzt und folgende
> Messerte aufgezeichnet
> Zeit: x Temperatur: y
> P1(0,14) P2(2,18) P3(5,78) P4(10,100)
>
> Transformieren Sie die nicht-lineare Ansatzfunktion y =
> [mm]ae^{mx}[/mm] in eine Gerade und bestimmen Sie die
> Geradengleichung und die Unbekannten a und m [mm](\in[/mm] R)
> rechnerisch und zeichnerisch.
> die Geradengleichung ist ja y=mx+b
Hier wäre es aber nur verwirrend, die Geradengleichung in
dieser Form verwenden zu wollen !
> also zeichnerisch leg ich einfach eine gerade zwischen die
> Punkte, und bestimm dann b und m. (richtig ????)
Das käme dann mit größter Wahrscheinlichkeit falsch heraus.
> und rechnerisch weiß ich, dass meine Geradengleichung wie
> folgt aussieht:
>
> ln(y) = mx+ln(a)
>
> nun meine Frage, was ist denn das a genau? oder wie
> bestimme ich a?
> und wie Hilft mir die Ansatzfunktion hierbei?
> wie sind nun meine weiteren Schritte? was muss ich
> machen?
>
> vielen Dank für Eure Hilfe.
>
> Mfg
> jojo1484
Hallo jojo,
du musst wirklich von der Gleichung $\ ln(y)\ =\ m*x+ln(a)$
ausgehen. Es empfiehlt sich nun, Abkürzungen einzuführen,
etwa:
$\ z\ =\ ln(y)$
$\ b\ =\ ln(a)$
Damit lautet die Gleichung nun: $\ z\ =\ m*x+b$
Diese Gleichung steht für eine Gerade in der x-z-Ebene mit
der Steigung m und dem z-Achsenabschnitt b.
Du solltest jetzt also zu den 4 gegebenen (in der x-y-Ebene
liegenden) Punkten [mm] P_i [/mm] die entsprechenden Punkte [mm] Q_i
[/mm]
in der x-z-Ebene) bestimmen. Die x-Koordinaten bleiben
erhalten, und aus [mm] y_i [/mm] berechnet man [mm] z_i =ln(y_i) [/mm] .
Nun macht man die lineare Regression in der x-z-Ebene
und bestimmt damit die Werte von m und b.
Nachher rechnet man in die ursprünglichen Koordi-
naten zurück und erhält die am besten passende
Exponentialfunktion für die Erhitzung des Wassers.
Ich frage mich allerdings, ob dieser Ansatz hier über-
haupt Sinn macht: die Approximation ist hunds-
lausig, und ich bezweifle auch, ob die angegebenen
Daten wirklich aus einem real durchgeführten
Ver such stammen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 14.02.2010 | | Autor: | jojo1484 |
Ersmals vielen Dank für deine Hilfe.
ok dann habe ich nun mit y*=ln(y) und x*=x folgende Punkte für meine Gerade errechnet:
P1*(0/2,64) P2*(2/2,89) P3*(5/4,36) P4*(10/4,6)
Das a ist der y-Achsenabschnitt = 14 oder???
sprich ist ln(a)=ln(14)=2,64=b (richtig??)
und nun den letzten Punkt in die Formel ln(y)=mx + ln(a) eingesetzt
ergibt mir: 4,6 = 10m + 2,64
folgt: m=0,194 (oder muss ich hier für jeden Punkt m ausrechnen und dann den Querschnitt nehmen?)
Das Ergebnis der Geradengleichung:
y*=0,194x + 2,64
Vielen Dank für Eure Hilfe
|
|
|
| |
|
> Ersmals vielen Dank für deine Hilfe.
>
> ok dann habe ich nun mit y*=ln(y) und x*=x folgende Punkte
> für meine Gerade errechnet:
>
> P1*(0/2,64) P2*(2/2,89) P3*(5/4,36) P4*(10/4,6)
>
> Das a ist der y-Achsenabschnitt = 14 oder???
Nein, der Wert von a ergibt sich erst später aus der
Gleichung ln(a)=b , nachdem man die Regressionsgerade
schon bestimmt hat.
> sprich ist ln(a)=ln(14)=2,64=b (richtig??) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein !
> und nun den letzten Punkt in die Formel ln(y)=mx + ln(a)
> eingesetzt
>
> ergibt mir: 4,6 = 10m + 2,64
> folgt: m=0,194 (oder muss ich hier für jeden Punkt
> m ausrechnen und dann den Querschnitt nehmen?)
In die Regressionsrechnung gehen alle Datenpunkte
ein, nicht nur der erste und der letzte.
Siehe  Regressionsgerade
> Das Ergebnis der Geradengleichung:
>
> y*=0,194x + 2,64
Für die Geradengleichung habe ich erhalten: [mm] $y^{\*}\ \approx\ 0.208\,x+2.752$
[/mm]
(ich habe mit einer zusätzlichen Dezimalen gerechnet)
Es ist also $\ m\ [mm] \approx\ [/mm] 0.208$ und $\ b\ [mm] \approx\ [/mm] 2.752$
Daraus berechnet man $\ a\ =\ [mm] e^b$ [/mm] und setzt dann die Werte
von m und a in die Gleichung $\ y\ =\ [mm] a*e^{m*x}$ [/mm] ein.
Wie schon früher gesagt: die entstehende Approximation ist
lausig, die Daten stammen wahrscheinlich nicht aus einem
echten Experiment, und das exponentielle Modell ist fehl am
Platz. Teile dies der Lehrkraft mit, falls du das Beispiel aus
der Schule hast !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 16.02.2010 | | Autor: | jojo1484 |
ok jetzt hab ich es kapiert! vielen dank.
ich habe nun das Ergebnis: m = 0,21 b=2,716
y=0,21x+2,716
und für a = [mm] e^b [/mm] = e^(2,716) = 15,12
das ergebnis hört sich doch gut an oder?
ich werde es meiner Lehrerin mitteilen, falls ich sie nochmals treffe.
Habe morgen Prüfung!  rechtzeitig noch etwas kapiert!
Mfg jojo1484
|
|
|
| |
|
> ok jetzt hab ich es kapiert! vielen dank.
>
> ich habe nun das Ergebnis: m = 0,21 b=2,716
>
> y=0,21x+2,716
>
> und für a = [mm]e^b[/mm] = e^(2,716) = 15,12
>
> das ergebnis hört sich doch gut an oder?
>
> ich werde es meiner Lehrerin mitteilen, falls ich sie
> nochmals treffe.
>
> Habe morgen Prüfung! rechtzeitig noch etwas kapiert!
>
> Mfg jojo1484
Mein rechnerisches Ergebnis hatte ich ja schon angegeben:
$m\ [mm] \approx\ [/mm] 0.208$ , $b\ [mm] \approx\ [/mm] 2.752$ , daraus $a\ [mm] \approx\ [/mm] 15.67$
also am Ende:
$\ y\ [mm] \approx\ 15.67*e^{0.208\,x}$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
|
