Transitiv operieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Do 17.12.2009 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] SL_2(\IR) [/mm] auf [mm] \overline{\IR}:= \IR \cup \{\infty\} [/mm] transitiv operiert vermöge
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }x= \begin{cases} \infty, & \mbox{für } x= \infty, c=0 \mbox{} \\ a/c, & \mbox{für } x= \infty, c \not= 0 \mbox{} \\ \infty, & \mbox{für } x \not= \infty, cx+d= 0 \mbox{} \\ (ax+b)/(cx+d), & \mbox{} \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] |
Hallo,
also mit dieser Aufgabe habe ich sehr große Probleme...
Fange ich erstmal an zu sagen, was ich weiss:
1) SL ist ja die spezielle lineare Gruppe mit Matrizen die det=1 besitzen
2) Eine Gruppe G operiert trasitiv auf einer Menge M, wenn es ein x [mm] \in [/mm] M gibt mit Gx=M.
So, nun weiss ich aber leider überhaupt nicht, wie ich hier vorgehen muss....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 17.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
ok, dann such dir doch einfach ein $x$ aus mit $Gx = [mm] \overline{\IR}$ [/mm] (es ist egal, welches $x$ du wählst - es wird mit jedem funktionieren. zum beispiel wähle $x = 0$. mit welches matrix $A$ aus SL kannst du erreichen, dass $Ax = 1$ oder $Ax = 2$? dann überlege dir, wie du dies verallgemeinern kannst - kannst du etwas bestimmte einträge der matrix (fast) immer gleich $0$ wählen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 17.12.2009 | | Autor: | Hanz |
Was mir jetzt in den Sinn käme wäre z.B. die Einheits Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] denn diese hat ja det=1. Das mit dem x=0 verstehe ich irgendwie nicht.... überhaut Ax=1 macht mir etwas kopfschmerzen, denn A ist doch eine 2x2-MAtrix und x und 1 reelle Zahlen oder verwechsle ich da grad etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 17.12.2009 | | Autor: | andreas |
> Was mir jetzt in den Sinn käme wäre z.B. die Einheits
> Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },[/mm] denn diese hat ja det=1.
> Das mit dem x=0 verstehe ich irgendwie nicht.... überhaut
> Ax=1 macht mir etwas kopfschmerzen, denn A ist doch eine
> 2x2-MAtrix und x und 1 reelle Zahlen oder verwechsle ich da
> grad etwas?
hier ist natürlich keine norale matrix-vektor-multiplikation gemeint, was eine matrix mit einem skalar macht steht aber doch gerade in der aufgabenstellung. in welchem der vier fälle wäre man hier. für den fall der einheitsmatrix: was wären da a, b, c und d? was erhälst du dann für $Ax$ nach dieser definition? war das zu erwarten nach der (abstrakten) definition der gruppenoperation?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 17.12.2009 | | Autor: | Hanz |
>für den fall der einheitsmatrix: was wären da a, b,
> c und d? was erhälst du dann für [mm]Ax[/mm] nach dieser
> definition? war das zu erwarten nach der (abstrakten)
> definition der gruppenoperation?
Für den Fall der Einheitsmatrix ist a=1, b=0, c=0, d=1, d.h. wir müssten uns im 1. Fall befinden, also quasi [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }x= \infty [/mm] für x= [mm] \infty.
[/mm]
Wenn ich jetzt z.B. x=2 wähle, bekomme ich dann 2 als Ergebnis heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 17.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Für den Fall der Einheitsmatrix ist a=1, b=0, c=0, d=1,
ok
> d.h. wir müssten uns im 1. Fall befinden, also quasi
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }x= \infty[/mm] für x= [mm]\infty.[/mm]
ok, wenn du jetzt $x = [mm] \infty$ [/mm] betrachten willst.
> Wenn ich jetzt z.B. x=2 wähle, bekomme ich dann 2 als
> Ergebnis heraus?
das kannst du ja ganz einfach selber mit der definition herausfinden. aber erinnere dich an die definition der gruppenoperation, da steht ja schon drin, dass $gx = x$. hast du eigentlich schon nachgerechnet, dass es sich bei der abbildung überhaupt um eine gruppenoperation handelt, das gehört vermutlich auch zu der aufgabe?
grüße
andreas
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