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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:30 Do 28.05.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A\in [/mm] Mat(n,K) eine trigonalisierbare Matrix. Zeigen Sie mittels Jordan-Normalform, dass A zu seiner transponierten Matrix [mm] A^T [/mm] konjugiert ist. |
Hallo, Zusammen!!
In der Vorlesung hatten wir gesagt, dass 2 trigonalisierbare Matrizen sind genau dann konjugiert, wenn sie die gleichen Eigenwerte haben, gleiche Dimensionen [mm] n_j [/mm] = [mm] dim(V_{(\lambda_j)}) [/mm] und gleiche Größen der Jordanblöcke [mm] m_{j,1} \ge m_{j,2}.\ge....\ge m_{j,s_j}.
[/mm]
Reicht es für den Beweis, wenn ich sage, dass bei transponierten Matrizen gilt: [mm] \chi_{A}(T)=\chi{_{A^T}}(T), [/mm] dann sind die Eigenwerte identisch und wenn die charackteristischen Polynome gleich sind dann müssen auch die Minimalpolynome gleich sein, dann sind die Jordanblöcke gleich und ihre Anzahl auch.
Könnte mich jemand korregieren?
Danke!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Gleiches Charakteristisches Polynom und gleiches Minimallpolynom ist noch nicht hinreichend für gleiche Jordansche Normalform.
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:25 Fr 29.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, pelzig!!
Danke erst mal für deine Antwort!
Könntest du mir vielleicht einen Tip geben, wie ich das beweisen kann?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 29.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Probier es doch mal so: Sei [mm] $J=SAS^{-1}$ [/mm] die Jordansche Normalform von A. Dann folgt durch Übergang zur Transponierten [mm] $J^t=(S^t)^{-1}A^tS^t$, [/mm] insbesondere ist also [mm] A^t [/mm] konjugiert zu [mm] J^t. [/mm] Nun musst du nur noch zeigen, dass die Behauptung für Jordansche Normalformen gilt, d.h. dass es eine invertierbare Matrix T gibt mit [mm] $J=TJ^tT^{-1}$. [/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 31.05.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo,Robert!!
Wie oben gilt [mm] J=EJE^{-1}, [/mm] da J schon Jordan-Normalform ist, und [mm] J^T=TJT^{-1}, [/mm] da J die Jordan- Normalform von [mm] J^T, [/mm] also sie sind dann konjugiert zueinander.
Und wenn ich jetzt [mm] J^t=(S^t)^{-1}A^tS^t [/mm] und [mm] J=SAS^{-1} [/mm] in [mm] J^T=TJT^{-1} [/mm] einsetze, dann komme ich auf die Gleichung:
[mm] (S^T)^{-1}A^TS^T= TSAS^{-1} T^{-1}
[/mm]
[mm] A=S^TTSA^T S^{-1} T^{-1}(S^T)^{-1}
[/mm]
[mm] A=(S^TTS)A^T (STS^T)^{-1}, [/mm] mit [mm] S^{T}TS=B [/mm] folgt
[mm] A=BA^TB^{-1}
[/mm]
Also ist A konjugiert zu [mm] A^T.
[/mm]
ist es so richtig??
Vielen Dank!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 31.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Warum ist J die Jordansche Normalform von [mm] J^T, [/mm] bzw. warum sind J und [mm] J^T [/mm] konjugiert?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 31.05.2009 | | Autor: | math101 |
Ich dachte ich kann das analog formulieren wie du das gemacht hast für A und ihre Jordan-Normalform. Die Jordan-Normalform von [mm] J^T [/mm] ist ja J , also müssen sie dann konjugiert sein.
Oder ist es so falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 31.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Die Jordan-Normalform von [mm]J^T[/mm] ist ja J
Das musst du aber erstmal zeigen!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 01.06.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Robert!!
Da [mm] J^T [/mm] die transponierte Matrix von der Jordan-Normalform J, unterscheiden sie sich nur darin, dass die 1en auf der oberen oder auf der unteren Nebendiagonal stehen, d.h aber, dass man [mm] J^T [/mm] durch geschickte Basiswahl auf die Form J bringen kann. Also muss die Gleichung [mm] J^T=TJT^{-1} [/mm] stimmen.
Reicht das für den Bweisen??
Sonst weiß ich nicht , wie ich das machen soll.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mo 01.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Da [mm]J^T[/mm] die transponierte Matrix von der Jordan-Normalform
> J, unterscheiden sie sich nur darin, dass die 1en auf der
> oberen oder auf der unteren Nebendiagonal stehen, d.h aber,
> dass man [mm]J^T[/mm] durch geschickte Basiswahl auf die Form J
> bringen kann. Also muss die Gleichung [mm]J^T=TJT^{-1}[/mm]
> stimmen.
Das stimmt alles, nur wie genau sieht die "geschickte Basiswahl" aus?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 01.06.2009 | | Autor: | math101 |
Man muss die Basiselemente vertauschen, sonst bleibt sie unverändert.
Odre?ist es richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mo 01.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Also wenn du selbst an deiner Argumentation zweifelst, dann ist das ein Zeichen dafür, dass der Beweis noch Lücken (zumindest für dich) aufweist.
In einem Buch mag ja vielleicht "durch geschicktes vertauschen der Basisvektoren" stehen, aber das heißt in Wirklichkeit nur, dass es dem Autoren zu anstrengend/hässlich war, das genaue Argument an dieser Stelle auszuführen, er sich aber sicher ist, dass jeder halbwegs begabte Leser nach kurzer Zeit diese Lücke selbst füllen könnte.
Auf jeden Fall solltest du ganz genau erklären, wie man die Basisvektoren vertauschen muss!
Gruß, Robert
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