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Forum "Algebra" - Transpositionen

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Transpositionen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:37 Sa 20.09.2008
Autor:	kittycat

Aufgabe

 (a) Schreiben Sie die Permutationen [mm] \sigma [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 2 & 5 & 7 & 6 & 8 & 4 & 1 } [/mm] und [mm] \sigma^{-1} [/mm] und [mm] \sigma^{999} [/mm] als Produkt von zyklischen Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern.

(b) Schreiben Sie die Permuationen [mm] \phi [/mm] = (1357)(123)(45678) und [mm] \phi^{-1} [/mm] und [mm] \phi^{999} [/mm] als Produkt von zyklischen Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern.

Hallo Mathefreunde,

Könnt ihr mir gerade bei [mm] \sigma^{999} [/mm] bzw. bei [mm] \phi^{999} [/mm] weiterhelfen?!? Irgendwie versteh ich das mit den Transpositionen und den Hochzahlen nicht ... :-(

Soweit bingekommen:
(a) [mm] \sigma [/mm] = (13568)(47)
     [mm] \sigma^{-1} [/mm] = (47) (18653)
     [mm] \sigma^{999} [/mm] = [mm] (47)^{1} (13568)^{4} [/mm]

(b) [mm] \phi [/mm] = (1256)(478)
     [mm] \phi^{-1} [/mm] = (1652)(487)
     [mm] \phi^{999}= (1652)^{3} [/mm] id

Vielen Dank schon mal im Voraus!
Lg Kittycat

Bezug

Transpositionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:37 Sa 20.09.2008
Autor:	Al-Chwarizmi

> (a) Schreiben Sie die Permutationen [mm]\sigma[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 2 & 5 & 7 & 6 & 8 & 4 & 1 }[/mm]
> und [mm]\sigma^{-1}[/mm] und [mm]\sigma^{999}[/mm] als Produkt von zyklischen
> Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern.
>
> (b) Schreiben Sie die Permuationen [mm]\phi[/mm] =
> (1357)(123)(45678) und [mm]\phi^{-1}[/mm] und [mm]\phi^{999}[/mm] als Produkt
> von zyklischen Permutationen mit paarweise disjunkten
> Trägern.
>  Hallo Mathefreunde,
>
> Könnt ihr mir gerade bei [mm]\sigma^{999}[/mm] bzw. bei [mm]\phi^{999}[/mm]
> weiterhelfen?!? Irgendwie versteh ich das mit den
> Transpositionen und den Hochzahlen nicht ... :-(
>
> Soweit bin gekommen:
>  (a) [mm]\sigma[/mm] = (13568)(47)

> [mm]\sigma^{-1}[/mm] = (47) (18653)

>       [mm]\sigma^{999}[/mm] = [mm](47)^{1} (13568)^{4}[/mm]

          natürlich ist [mm] (47)^1=(47) [/mm]
          ferner [mm] (13568)^4=(13568)(13568)(13568)(13568)=(18653) [/mm]
          insgesamt also:
           [mm]\sigma^{999}[/mm] = [mm](18653)(47)[/mm]

>
> (b) [mm]\phi[/mm] = (1256)(478)

             um klar zu machen, dass da die 3 auch noch vorkommt:
             [mm]\phi[/mm] = (1256)(3)(478)

>       [mm]\phi^{-1}[/mm] = (1652)(487)

> [mm]\phi^{999}= (1652)^{3}[/mm] id

          du meintest wohl:  [mm]\phi^{999}= (1256)^{3}[/mm] id

              Schlussergebnis:  [mm]\phi^{999}= (1652)[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus!
>  Lg Kittycat
>
>

Gruß    al-Chwarizmi

Bezug

Transpositionen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	15:21 Sa 20.09.2008
Autor:	kittycat

Hallo al-Chwarizmi,

vielen, vielen Dank für deine Hilfe ... jetzt hab ich es verstanden wie man "hochrechnet" :-)

> > Soweit bin gekommen:
> > (a) [mm]\sigma[/mm] = (13568)(47)

> > [mm]\sigma^{-1}[/mm] = (47) (18653)

>  >       [mm]\sigma^{999}[/mm] = [mm](47)^{1} (13568)^{4}[/mm]
>
> natürlich ist [mm](47)^1=(47)[/mm]
>            ferner
> [mm](13568)^4=(13568)(13568)(13568)(13568)=(18653)[/mm]
>            insgesamt also:
>             [mm]\sigma^{999}[/mm] = [mm](18653)(47)[/mm]

Gilt hier eigentlich (47)(13568)=(13568)(47)??

> > (b) [mm]\phi[/mm] = (1256)(478)

>
> um klar zu machen, dass da die 3 auch noch vorkommt:
>               [mm]\phi[/mm] = (1256)(3)(478)
>
>
> >       [mm]\phi^{-1}[/mm] = (1652)(487)

> > [mm]\phi^{999}= (1652)^{3}[/mm] id

>
> du meintest wohl: [mm]\phi^{999}= (1256)^{3}[/mm] id

Ja, genau, das habe ich gemeint ... hab mich da nur in der Zeile verirrt :-)

> Schlussergebnis: [mm]\phi^{999}= (1652)[/mm]

Danke,
Lg Kittycat

Bezug

Transpositionen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	16:27 Sa 20.09.2008
Autor:	Al-Chwarizmi

hello Kittycat

> Gilt hier eigentlich (47)(13568)=(13568)(47)??

ja; elementfremde Zyklen beeinflussen sich ja
gegenseitig nicht, deshalb gilt für sie das Kommutativ-
gesetz, das i.A. für Zyklen natürlich nicht gültig ist

LG

Bezug

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