Trapez-Regel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:30 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu einem Beweis eines Corollares der Trapez-Regel, die da lautet:
Trapez-Regel:
Sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (f(0) - f(1)) - R
wobei R = [mm] \frac{1}{2} \integral_{0}^{1}{x(1-x) f''(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi) [/mm]
für ein [mm] \xi \in [/mm] [0,1].
Das Corollar lautet wie folgt: Es sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und
K:= [mm] sup\{|f''(x)| : x \in [a,b] \}
[/mm]
Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und h := [mm] \frac{b-a}{n}. [/mm] Dann gilt
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2} [/mm] f(a) + [mm] \summe_{v=1}^{n-1} [/mm] f(a+vh) + [mm] \frac{1}{2} [/mm] f(b)) * h + R
mit |R| [mm] \le \frac{K}{12} [/mm] (b-a) [mm] h^{2}.
[/mm]
Beweis: .
Durch Variablentransformation erhält man aus dem Satz der Trapez-Regel:
[mm] \integral_{a+vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{h}{2}(f(a+vh) [/mm] + f(a+(v+1)h)) - [mm] \frac{h^{3}}{12} f''(\xi)
[/mm]
mit [mm] \xi \in [/mm] [a+vh, a+(v+1)h]
Summation über v ergibt die Behauptung.
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Meine Frage nun: Wieso kann man hier auf die Trapez-Regel zurückgreifen, die ja nur für das Intervall [0,1] gilt?
Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eine Antwort und Erklärung! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 So 09.07.2017 | | Autor: | chrisno |
Ersetze das Wort Variablentransformation durch Substitution.
Erinnere Dich, dass bei der Substitution auch die Grenzen geändert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi chrisno,
Danke für den Denkanstoß.
Aber es müsste in dem Fall doch h = 1 gelten, wenn a + vh = 0 sein soll und a+(v+1)h = 1, sodass im Endeffekt das Integral von 0 bis 1 geht und
[mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist, wie in der Trapez-Regel bestimmt.
Wie würde die Substitution aussehen, da komme ich nicht drauf.
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 09.07.2017 | | Autor: | chrisno |
Ich habe es nicht komplett nachgerechnet, aber fang mal so an:
[mm] $\int_0^1 [/mm] f(a+(v+th))h dt = [mm] \ldots$
[/mm]
Also ist [mm] $\varphi(t) [/mm] = a+(v+th)$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:34 Mo 10.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo chrisno,
nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen gekommen:
Sei [mm] \phi(t) [/mm] = a + (v+t)h, => [mm] \phi'(t) [/mm] = h
Damit ist [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)} [/mm] = [mm] \integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm]
Ferner ist, da [mm] \phi'(t) [/mm] = h konstant, [mm] [f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)]' [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2} [/mm]
und weiter [mm] [f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2}]' [/mm] = [mm] f''(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{3} [/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm] h^{3}
[/mm]
Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:
[mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] [h * f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi) [/mm] = [mm] \frac{h}{2} [/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi)
[/mm]
mit einem [mm] \xi \in [/mm] [a + vh, a + (v+1)h]
Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir noch nicht ganz sicher bin:
Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [f(0) + f(1)] - R,
mit R = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi)
[/mm]
mit einem [mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist.
Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] anwenden? Ist dann halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) = h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] die zweimal stetig differenzierbare Funktion?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mo 10.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo chrisno,
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> nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen
> gekommen:
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> Sei [mm]\phi(t)[/mm] = a + (v+t)h, => [mm]\phi'(t)[/mm] = h
>
>
> Damit ist [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)}[/mm] =
> [mm]\integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm]
>
> Ferner ist, da [mm]\phi'(t)[/mm] = h konstant, [mm][f(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)]'[/mm] = [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] =
> [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}[/mm]
>
> und weiter [mm][f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}]'[/mm] = [mm]f''(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)^{3}[/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm]h^{3}[/mm]
>
> Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:
>
> [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] [h *
> f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
> = [mm]\frac{h}{2}[/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] -
> [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
>
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [a + vh, a + (v+1)h]
>
>
>
> Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir
> noch nicht ganz sicher bin:
>
> Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine
> zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [f(0) + f(1)] -
> R,
>
> mit R = [mm]\frac{1}{12} f''(\xi)[/mm]
>
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [0,1] ist.
>
>
> Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h *
> f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] anwenden? Ist dann
> halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) =
> h * f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] die zweimal
> stetig differenzierbare Funktion?
>
Ja, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist, dann auch g.
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 15.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen, nun ist mir alles klar!
VG X3nion
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