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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich bin bei einer Gleichung auf folgenden Zwischenschritt gekommen:
[mm] y=180^\circ-\alpha/2-arcsin(sin^{2}(\alpha/2))
[/mm]
Meine Frage: Kann ich das noch irgendwie vereinfachen? Oder Allgemein: Gibt es irgendeine tolle Rechenregel, die mir bei [mm] arcsin(sin^{2}x) [/mm] hilft?
Übrigens: [mm] \alpha \in [/mm] (0,180°)
So, ich habe noch eine Gleichung, die nach b aufgelöst werden muss:
[mm] b\cdot [/mm] sin(b)=a
Hier vielleicht jemand einen Ansatz?
Danke, Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mi 23.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> ich bin bei einer Gleichung auf folgenden Zwischenschritt
> gekommen:
>
> [mm]y=180^\circ-\alpha/2-arcsin(sin^{2}(\alpha/2))[/mm]
>
> Meine Frage: Kann ich das noch irgendwie vereinfachen? Oder
> Allgemein: Gibt es irgendeine tolle Rechenregel, die mir
> bei [mm]arcsin(sin^{2}x)[/mm] hilft?
Ich sehe nicht, wie das gehen sollte. Einzige Möglichkeit wäre das Additionstheorem für den Cosinus:
[mm] \cos(2x) = \cos(x+x) = \cos^2 x -\sin^2 x = 1- 2 \sin^2 x [/mm]
Damit kannst du [mm] $\sin^2(\alpha/2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1- \cos\alpha)$ [/mm] vereinfachen, aber weiter fällt mir nichts ein.
> Übrigens: [mm]\alpha \in[/mm] (0,180°)
>
> So, ich habe noch eine Gleichung, die nach b aufgelöst
> werden muss:
> [mm]b\cdot sin(b)=a[/mm]
>
> Hier vielleicht jemand einen Ansatz?
Das geht mit normalen Funktionen gar nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 24.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
danke Rainer.
>
> > ich bin bei einer Gleichung auf folgenden Zwischenschritt
> > gekommen:
> >
> > [mm]y=180^\circ-\alpha/2-arcsin(sin^{2}(\alpha/2))[/mm]
> >
> > Meine Frage: Kann ich das noch irgendwie vereinfachen? Oder
> > Allgemein: Gibt es irgendeine tolle Rechenregel, die mir
> > bei [mm]arcsin(sin^{2}x)[/mm] hilft?
>
> Ich sehe nicht, wie das gehen sollte. Einzige Möglichkeit
> wäre das Additionstheorem für den Cosinus:
>
> [mm]\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos^2 x -\sin^2 x = 1- 2 \sin^2 x[/mm]
>
> Damit kannst du [mm]\sin^2(\alpha/2) = \bruch{1}{2}(1- \cos\alpha)[/mm]
> vereinfachen, aber weiter fällt mir nichts ein.
Fällt vielleicht jemanden noch was anderes ein?
>
> > Übrigens: [mm]\alpha \in[/mm] (0,180°)
> >
> > So, ich habe noch eine Gleichung, die nach b aufgelöst
> > werden muss:
> > [mm]b\cdot sin(b)=a[/mm]
> >
> > Hier vielleicht jemand einen Ansatz?
>
> Das geht mit normalen Funktionen gar nicht.
Ok nach b auflösen ist hier auch nicht so ganz korrekt formuliert. Vielleicht sollte ich besser sagen ich suche die Lösungsmenge für die Gleichung $b*sin(b)=a$, mit a [mm] \in \IR [/mm] ist.
Also wie z.B. hier:
sin(b) = a
[mm] \Rightarrow \IL=\{b\in \IR| b=arcsin(a)+2\pi k \vee b=\pi-arcsin(a)+2\pi k; k\in\IZ\}
[/mm]
(Ich hoffe das stimmt so )
Ich gebe mich auch mit einer numerischen Lösung zufrieden, wenn's algebraisch nicht klappt. Schön wäre es nur, wenn ich die Ergebnisse der Nullstellen irgendwie in Excel importieren könnte. Mir würden auch die Nullstellen zwischen 0 und 40 reichen. 
Danke Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Do 24.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> > > So, ich habe noch eine Gleichung, die nach b aufgelöst
> > > werden muss:
> > > [mm]b\cdot sin(b)=a[/mm]
> > >
> > > Hier vielleicht jemand einen Ansatz?
> >
> > Das geht mit normalen Funktionen gar nicht.
>
> Ok nach b auflösen ist hier auch nicht so ganz korrekt
> formuliert. Vielleicht sollte ich besser sagen ich suche
> die Lösungsmenge für die Gleichung [mm]b*sin(b)=a[/mm], mit a [mm]\in \IR[/mm]
> ist.
> Also wie z.B. hier:
> sin(b) = a
> [mm]\Rightarrow \IL=\{b\in \IR| b=arcsin(a)+2\pi k \vee b=\pi-arcsin(a)+2\pi k; k\in\IZ\}[/mm]
>
> (Ich hoffe das stimmt so )
Für [mm] $|a|\le [/mm] 1$, ja, Für $|a|>1$ ist die Lösungsmenge leer.
> Ich gebe mich auch mit einer numerischen Lösung zufrieden,
> wenn's algebraisch nicht klappt. Schön wäre es nur, wenn
> ich die Ergebnisse der Nullstellen irgendwie in Excel
> importieren könnte. Mir würden auch die Nullstellen
> zwischen 0 und 40 reichen.
Nimm doch den Excel Solver zur Nullstellenbestimmung (Extras->Addins, dort Solver anklicken; dann Extras->Solver).
![[]](/images/popup.gif) Hier ist eine ausführliche Beschreibung (die deutsche Beschreibung ist automatisch übersetzt, eventuell musst du den englischen Text hernehmen, um die Beschreibung zu verstehen.)
Übrigens ist zu jeder Lösung b auch -b eine Lösung, sodass du dich auf die Suche nach positiven Lösungen beschränken kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 So 27.09.2009 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Hilfe.
> > > > So, ich habe noch eine Gleichung, die nach b aufgelöst
> > > > werden muss:
> > > > [mm]b\cdot sin(b)=a[/mm]
> > > >
> > > > Hier vielleicht jemand einen Ansatz?
> > >
> > > Das geht mit normalen Funktionen gar nicht.
> >
> > Ok nach b auflösen ist hier auch nicht so ganz korrekt
> > formuliert. Vielleicht sollte ich besser sagen ich suche
> > die Lösungsmenge für die Gleichung [mm]b*sin(b)=a[/mm], mit a [mm]\in \IR[/mm]
> > ist.
> > Also wie z.B. hier:
> > sin(b) = a
> > [mm]\Rightarrow \IL=\{b\in \IR| b=arcsin(a)+2\pi k \vee b=\pi-arcsin(a)+2\pi k; k\in\IZ\}[/mm]
>
> >
> > (Ich hoffe das stimmt so )
>
> Für [mm]|a|\le 1[/mm], ja, Für [mm]|a|>1[/mm] ist die Lösungsmenge leer.
>
> > Ich gebe mich auch mit einer numerischen Lösung zufrieden,
> > wenn's algebraisch nicht klappt. Schön wäre es nur, wenn
> > ich die Ergebnisse der Nullstellen irgendwie in Excel
> > importieren könnte. Mir würden auch die Nullstellen
> > zwischen 0 und 40 reichen.
>
> Nimm doch den Excel Solver zur Nullstellenbestimmung
> (Extras->Addins, dort Solver anklicken; dann
> Extras->Solver).
> Hier ist eine
> ausführliche Beschreibung (die deutsche Beschreibung ist
> automatisch übersetzt, eventuell musst du den englischen
> Text hernehmen, um die Beschreibung zu verstehen.)
>
> Übrigens ist zu jeder Lösung b auch -b eine Lösung,
> sodass du dich auf die Suche nach positiven Lösungen
> beschränken kannst.
>
Ich glaube bei so "komplizierten" Funktionen funktioniert der solver nicht. Kann es im Moment leider nicht ausprobieren, da er auf diesem Rechner nicht installiert ist und ich unterwegs bin (also keine CD zum installieren dabei habe). Könntest Du das vielleicht für mich testen? Das wäre total lieb.
Wenn es doch klappt, werde ich alle Hebel in Bewegung setzen, um den solver zu bekommen. Sonst bin ich für jede weitere Idee Dankbar.
Vielen dank und schöne Grüße
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 So 27.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Ich glaube bei so "komplizierten" Funktionen funktioniert
> der solver nicht. Kann es im Moment leider nicht
> ausprobieren, da er auf diesem Rechner nicht installiert
> ist und ich unterwegs bin (also keine CD zum installieren
> dabei habe). Könntest Du das vielleicht für mich testen?
Es gibt bessere numerische Software als Excel; aber für diese Gleichung reicht der Solver aus.
Schreibe zum Beispiel in Zelle B1:
=A1*sin(A1)
Dann schreibst du einen geeigneten Startwert in A1, rufst du den solver auf und trägst als veränderliche Zellen A1, als Zielwert B1 und als Vergleich den Wert 0 ein.
Viele Grüße
Rainer
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