UVR - Nachweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
habe Fragen zu folgender Aufgabe:
1) Sei [mm] V=M_{2,2}(\IR), [/mm] aufgefasst als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] (mit Matrizenaddition und Skalarmultiplikation). Wir definieren die Teilmengen
[mm] W_{+}:= [/mm] {A [mm] \in [/mm] V: [mm] A^T [/mm] = A}, [mm] W_{-}:= [/mm] {A [mm] \in [/mm] V: [mm] A^T [/mm] = -A},
wobei [mm] A^T [/mm] die Transponiertezur Matrix A darstellt.
a) Zeige, dass [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-} [/mm] Untervektorräume von V sind.
b) Berechne die Dimension des Durchschnitts [mm] W_{+} \cap W_{-} [/mm] von [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-}.
[/mm]
Um zu überprüfen, ob etwas ein Untervektorraum ist, muss ich ja folgende Axiome nachprüfen:
(i) U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(ii) [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U gilt: u+v [mm] \in [/mm] U
(iii) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K und [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U gilt: [mm] \lambda*u \in [/mm] U
Das neutrale Element der [mm] M_{2,2}(\IR) [/mm] ist doch [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] aber wie sehe ich, ob es [mm] \in [/mm] W liegt oder nicht? Irgendwie verstehe ich die Definition von [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-} [/mm] auch net wirklich... Bedeutet das: Man nimmt eine beliebige Matrix aus V und wenn die transponierte Matrix dann gleich A ist, dann liegt diese MAtrix auch im Bereich [mm] W_{+}?
[/mm]
Zu b) hab ich keinen Schimmer...
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> Hallo,
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> habe Fragen zu folgender Aufgabe:
>
> 1) Sei [mm]V=M_{2,2}(\IR),[/mm] aufgefasst als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] (mit
> Matrizenaddition und Skalarmultiplikation). Wir definieren
> die Teilmengen
> [mm]W_{+}:=[/mm] {A [mm] \inV: A^T= [/mm] A},
Hallo,
da sind also alle symmetrischen 2x2-Matrizen drin, also die der Gestalt [mm] \pmat{ a & b \\ b & a }.
[/mm]
> [mm]W_{-}:=[/mm] {A [mm] \in [/mm] V: [mm] A^T= [/mm] -A},
Überlege Dir nun wie die aussehen, die in [mm] W_{-} [/mm] sind: es muß ja sein [mm] \pmat{ a & b \\ c & d}=\pmat{ -a & -c \\ -b & -d}.
[/mm]
Also?
> wobei [mm]A^T[/mm] die Transponiertezur Matrix A darstellt.
>
> a) Zeige, dass [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}[/mm] Untervektorräume von V sind.
>
> Um zu überprüfen, ob etwas ein Untervektorraum ist, muss
> ich ja folgende Axiome nachprüfen:
> (i) U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> (ii) [mm]\forall[/mm] u,v [mm]\in[/mm] U gilt: u+v
> [mm]\in[/mm] U
> (iii) [mm]\forall \lambda \in[/mm] K und [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U gilt:
> [mm]\lambda*u \in[/mm] U
Ja, genau.
>
> Das neutrale Element der [mm]M_{2,2}(\IR)[/mm] ist doch [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },[/mm]
Wenn man über neutrale Elemente spricht, kommt es darauf an, bzgl welcher Verknüpfung das Element neutral sein soll.
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ist das neutrale Element der Multiplikation von Matrizen - aber diese Verknüpfung kommt hier doch überhaupt nicht vor, wenn man den Vektorraum der 2x2-Matrizen betrachtet. (Lies Dir den ersten Satz der Aufgabenstellung durch, da steht das extra nochmal).
Du mußt hier natürlich das neutrale Element der Addition nehmen. Das ist?
> aber wie sehe ich, ob es [mm]\in[/mm] W liegt oder nicht?
Daran, ob es symmetrisch ist.
> Irgendwie
> verstehe ich die Definition von [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}[/mm] auch net
> wirklich... Bedeutet das: Man nimmt eine beliebige Matrix
> aus V und wenn die transponierte Matrix dann gleich A ist,
> dann liegt diese MAtrix auch im Bereich [mm]W_{+}?[/mm]
Ja, genau.
>
>
> b) Berechne die Dimension des Durchschnitts [mm]W_{+} \cap W_{-}[/mm]
> von [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}.[/mm]
> Zu b) hab ich keinen Schimmer...
Hier könntest Du Dir erstmal überlegen, wie so eine matrix aussehen muß, die gleichzeitig in [mm] W_{+}[/mm] [/mm] und [mm][mm] W_{-} [/mm] liegt. Denn das bedeutet ja "Durchschnitt".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 06.01.2009 | | Autor: | Hanz |
> Überlege Dir nun wie die aussehen, die in [mm]W_{-}[/mm] sind: es
> muß ja sein [mm]\pmat{ a & b \\ c & d}=\pmat{ -a & -c \\ -b & -d}.[/mm]
Wenn ich nun eine beliebige 2x2 Matrix A gegeben habe, diese transponiere, soll dann -A herauskommen. Beim Transponieren vertausche ich doch quasi nur die Einträge "über" und "unter" der Hauptdiagonalen, daher verstehe ich nicht, wie die Matrix dann negativ werden kann.
Oder ist das einfach eine Definition dass
[mm] $A^T [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ b & a}^T=\pmat{ -a & -b \\ -b & -a} [/mm] = -A. $
> Du mußt hier natürlich das neutrale Element der Addition
> nehmen. Das ist?
Die Nullmatrix, also $ [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] $ und die ist Element [mm] W_{+} [/mm] und [mm] W_{-} [/mm] (kann man das hier so sagen, weil 0 ja kein Vorzeichen hat?)
> Hier könntest Du Dir erstmal überlegen, wie so eine matrix
> aussehen muß, die gleichzeitig in [mm]W_{+}[/mm][/mm] und [mm][mm]W_{-}[/mm] liegt. Denn das bedeutet ja "Durchschnitt".
Außer der Nullmatrix fällt mir keine ein :/
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> > Überlege Dir nun wie die aussehen, die in [mm]W_{-}[/mm] sind: es
> > muß ja sein [mm]\pmat{ a & b \\ c & d}=\pmat{ -a & -c \\ -b & -d}.[/mm]
>
> Wenn ich nun eine beliebige 2x2 Matrix A gegeben habe,
> diese transponiere, soll dann -A herauskommen.
Ja.
> Beim
> Transponieren vertausche ich doch quasi nur die Einträge
> "über" und "unter" der Hauptdiagonalen, daher verstehe ich
> nicht, wie die Matrix dann negativ werden kann.
Du suchst die Matrizen, die so gemacht sind, daß man gerade ihr Negatives bekommt, wenn man sie transponiert.
Du mußt also gucken, wie a,b,c,und d sein dürfen, damit [mm] \pmat{ a & b \\ c & d}=\pmat{ -a & -c \\ -b & -d} [/mm] richtig ist.
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] ist nicht solch eine Matrix, denn es ist [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }^t=\pmat{ 1 & 4 \\ 3 & 1 } \not= -\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }.
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } [/mm] ist nicht solch eine Matrix, denn es ist [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }^t=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } \not= -\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }.
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 } [/mm] ist solch eine Matrix, denn es ist [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 }^t=\pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm] = [mm] -\pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 }.
[/mm]
> > Du mußt hier natürlich das neutrale Element der Addition
> > nehmen. Das ist?
>
> Die Nullmatrix, also [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] und die ist
> Element [mm]W_{+}[/mm] und [mm]W_{-}[/mm] (kann man das hier so sagen, weil 0
> ja kein Vorzeichen hat?)
Ja, das kann man ja vorrechnen, daß [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}^t=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}^t=-\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
> > Hier könntest Du Dir erstmal überlegen, wie so eine matrix
> > aussehen muß, die gleichzeitig in [mm]W_{+}[/mm][/mm] und [mm][mm]W_{-}[/mm] liegt. Denn das bedeutet ja "Durchschnitt".
> Außer der Nullmatrix fällt mir keine ein :/
Tja, da stellt sich nun die Frage: liegt es an mangelnder Fantasie, oder gibt es keine anderen?
Die Antwort wirst Du besser finden, wenn Du erstmal weißt, wie die Elemente von [mm] W_{-} [/mm] aussehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Hanz |
Die Untervektorraumkriterien habe ich nun nachgewiesen
> Außer der Nullmatrix fällt mir keine ein :/
Tja, da stellt sich nun die Frage: liegt es an mangelnder Fantasie, oder gibt es keine anderen?
Die Antwort wirst Du besser finden, wenn Du erstmal weißt, wie die Elemente von [mm]W_{-}[/mm] aussehen.
Also die Elemente von [mm] W_{-} [/mm] müssen dann ja so aussehen $ [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 } [/mm] $, sie müssen eine 0 in der Hauptdiagonalen aufweisen, weil sonst -A niemals stimmen würde, und die Elemente über und unter der Hauptdiagonalen müssen gleich sein, aber jeweils ein anderes Vorzeichen aufweisen.
Die Elemente in [mm] W_{+} [/mm] können ja einen beliebigen Eintrag in der Hauptdiagonalen haben und die Eintrage darüber und darunter müssen gleich sein (auch gleiches Vorzeichen).
Im Durchschnitt liegen dan ja die Vektoren, die in [mm] W_{-} [/mm] UND [mm] W_{+} [/mm] liegen und außer der Nullmatrix kann es keine andere 2x2 Matrix geben, die das erfüllt.
Ist die Dimension also 1 dann?
Mal angenommenn es gäbe 10 Vektoren im Durchschnitt, wäre die Dimension dann 10?
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> Also die Elemente von [mm]W_{-}[/mm] müssen dann ja so aussehen
> [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 } [/mm], sie müssen eine 0 in der
> Hauptdiagonalen aufweisen, weil sonst -A niemals stimmen
> würde, und die Elemente über und unter der Hauptdiagonalen
> müssen gleich sein, aber jeweils ein anderes Vorzeichen
> aufweisen.
>
> Die Elemente in [mm]W_{+}[/mm] können ja einen beliebigen Eintrag in
> der Hauptdiagonalen haben und die Eintrage darüber und
> darunter müssen gleich sein (auch gleiches Vorzeichen).
>
>
> Im Durchschnitt liegen dan ja die Vektoren, die in [mm]W_{-}[/mm]
> UND [mm]W_{+}[/mm] liegen und außer der Nullmatrix kann es keine
> andere 2x2 Matrix geben, die das erfüllt.
Hallo,
ja, das ist richtig.
> Ist die Dimension also 1 dann?
Nein. Dieser Vektorraum enthält nur die Null, ist also ein nulldimensionaler VR.
>
>
> Mal angenommenn es gäbe 10 Vektoren im Durchschnitt, wäre
> die Dimension dann 10?
Das ist doch Humbug: der [mm] \IR^3 [/mm] enthält ziemlich viele Vektoren. Ist seine Dimension deshalb ziemlich groß? Nein.
Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis.
Gruß v. Angela
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