UVR Dim und span < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die folgenden Untervektorräume von [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] U_1 [/mm] := [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ 3}\}, U_2 [/mm] := [mm] \{\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{2 \\ 3 \\ 6}\}
[/mm]
Bestimme die Dimensionen von [mm] U_1, U_2 [/mm] und [mm] U_1+U_2. [/mm] Gib eine Basis zu [mm] U_1+U_2 [/mm] an. |
Hallo Community,
zunächst einmal einige Verständnisfragen.
Der span sind ja alle Linearkombinationen mit den Vektoren, die in der Klammer stehen. Sprich, wenn x die Anzahl an linear unabhängigen Vektoren aus der "Spanklammer" ist, dann ist x auch die Dimension des UVR.
Wenn ich dann [mm] U_1+U_2 [/mm] berechnen will, kann man da nicht direkt folgern, weil dim [mm] U_1 [/mm] schon 3 ist, dass die Summe auch 3 ist, weil die dim von einem [mm] UVR(U_1+U_2 [/mm] ist ja laut einem Satz wieder ein UVR) nicht größer als sein Vektorraum sein kann?
mfg
oktollber
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> Betrachte die folgenden Untervektorräume von [mm]\IR^3:[/mm]
> [mm]U_1[/mm] := [mm]\{\vektor{1 \\
0 \\
2}, \vektor{0 \\
1 \\
1}, \vektor{2 \\
-1 \\
3}\}, U_2[/mm]
> := [mm]\{\vektor{1 \\
2 \\
3}, \vektor{2 \\
3 \\
6}\}[/mm]
> Bestimme
> die Dimensionen von [mm]U_1, U_2[/mm] und [mm]U_1+U_2.[/mm] Gib eine Basis zu
> [mm]U_1+U_2[/mm] an.
> Hallo Community,
>
> zunächst einmal einige Verständnisfragen.
>
> Der span sind ja alle Linearkombinationen mit den Vektoren,
> die in der Klammer stehen.
Ja [mm]U_1=\{x_1\vektor{1 \\
0 \\
2}+x_2\vektor{0 \\
1 \\
1}+x_3\vektor{2 \\
-1 \\
3}\quad | \quad x_1,x_2,x_3 \in \IR\}[/mm]
> Sprich, wenn x die Anzahl an
> linear unabhängigen Vektoren aus der "Spanklammer" ist,
> dann ist x auch die Dimension des UVR.
Ja.
>
> Wenn ich dann [mm]U_1+U_2[/mm] berechnen will, kann man da nicht
> direkt folgern, weil dim [mm]U_1[/mm] schon 3 ist, dass die Summe
> auch 3 ist, weil die dim von einem [mm]UVR(U_1+U_2[/mm] ist ja laut
> einem Satz wieder ein UVR) nicht größer als sein
> Vektorraum sein kann?
Ja, du hast ja
[mm]U_1+U_2=\{x_1\vektor{1 \\
0 \\
2}+x_2\vektor{0 \\
1 \\
1}+x_3\vektor{2 \\
-1 \\
3}+x_4\vektor{1 \\
2 \\
3}+x_5\vektor{2 \\
-1 \\
3}\quad | \quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in \IR\}[/mm]
>
Jetzt kommt aber der Haken:
$dim [mm] U_1=2$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Schönen guten Morgen!
In der Vorlesung hatten wir den Dimensionssatz:
Sei U ein UVR in einem endlichdimensionalen K-Vektorraum V dimV < [mm] \infty
[/mm]
Dann gilt:
a) dim U [mm] \le [/mm] dim V
b) dim U = dim V [mm] \gdw [/mm] U = V
Wenn [mm] U_1 [/mm] also die Dimension 2 haben soll, liegt es daran, dass [mm] U_1 \not= \IR^{3} [/mm] ?
Wenn ja wie zeige ich das?
lg
Balodil
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Schönen guten Morgen!
>
> In der Vorlesung hatten wir den Dimensionssatz:
>
> Sei U ein UVR in einem endlichdimensionalen K-Vektorraum V
> dimV < [mm]\infty[/mm]
> Dann gilt:
> a) dim U [mm]\le[/mm] dim V
> b) dim U = dim V [mm]\gdw[/mm] U = V
>
> Wenn [mm]U_1[/mm] also die Dimension 2 haben soll, liegt es daran,
> dass [mm]U_1 \not= \IR^{3}[/mm] ?
> Wenn ja wie zeige ich das?
Zeige: die Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
sind linear abhängig.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Ich hab das jetzt wie folgt gelöst:
[mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ -1 \\ 3} [/mm] = 0 => [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
Daraus folgende Gleichungen:
[mm] \lambda_1 [/mm] * 1 + [mm] \lambda_2 [/mm] * 0 + [mm] \lambda_3 [/mm] * 2 = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] * 0 + [mm] \lambda_2 [/mm] * 1 + [mm] \lambda_3 [/mm] * -1 = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] * 2 + [mm] \lambda_2 [/mm] * 1 + [mm] \lambda_3 [/mm] * 3 = 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = -2, [mm] \lambda_2 [/mm] = 1, [mm] \lambda_3 [/mm] = 1
Also Widerspruch und mindestens zwei Vektoren sind linear abhängig
Daraus folgt dim [mm] U_1 [/mm] = 2?
Kann man das so machen und geht man analog mit [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_1+U_2 [/mm] vor?
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> Ich hab das jetzt wie folgt gelöst:
>
> [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] + [mm]\lambda_2 \vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\lambda_3 \vektor{2 \\
-1 \\
3}[/mm] = 0 => [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
Hallo,
ja, wenn Du das zeigen könntest, wären sie unabhängig.
> Daraus folgende Gleichungen:
> [mm]\lambda_1[/mm] * 1 + [mm]\lambda_2[/mm] * 0 + [mm]\lambda_3[/mm] * 2 = 0
> [mm]\lambda_1[/mm] * 0 + [mm]\lambda_2[/mm] * 1 + [mm]\lambda_3[/mm] * -1 = 0
> [mm]\lambda_1[/mm] * 2 + [mm]\lambda_2[/mm] * 1 + [mm]\lambda_3[/mm] * 3 = 0
>
> => [mm]\lambda_1[/mm] = -2, [mm]\lambda_2[/mm] = 1, [mm]\lambda_3[/mm] = 1
Der "daraus folgt"-Pfeil ist falsch: das GS hat doch viel mehr Lösungen.
Du meinst sicher: [mm] "$\lambda_1$ [/mm] = -2, [mm] $\lambda_2$ [/mm] = 1, [mm] $\lambda_3$ [/mm] = 1 ist eine Lösung des Systems."
> Also Widerspruch
zur linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren.
> und mindestens zwei Vektoren sind linear
> abhängig
Nein: es ist doch keiner Vielfaches des anderen.
Es sind hier je zwei Deiner drei Vektoren (offensichtlich) linear unabhängig.
> Daraus folgt dim [mm]U_1[/mm] = 2?
Mit meiner Überlegung: ja.
>
> Kann man das so machen und geht man analog mit [mm]U_2[/mm] und
> [mm]U_1+U_2[/mm] vor?
Bei [mm] U_2 [/mm] brauchst Du doch nur draufzugucken und siehst die Dimension, oder?
Für [mm] U_1+U_2 [/mm] packst Du dann die beiden Basen zusammen und guckst, ob dieses Erzeugendensystem von [mm] U_1+U_2 [/mm] linear unabhängig ist.
Wenn ja, freust Du Dich,
wenn nein, mußt Du aus den vektoren eine max. linear unabhängige Teilmenge herausfischen.
Gruß v. Angela
P.S.: Je nachdem, wie viel Ihr schon über LGSe und das Gaußverfahren glernt habt, kann man die Aufgabe sehr leicht nach Schema F bearbeiten ohne zu denken. Deinem A[mm]\lambda_1[/mm] = -2, [mm]\lambda_2[/mm] = 1, [mm]\lambda_3[/mm] = 1nsatz nach war das bei Euch aber noch nicht dran.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Ich habe das lgs aufgestellt:
x + 2z + a + 2b = 0
y - z + 2a + 3b = 0
2x + y + 3z + 3a + 6b = 0
und ich erhalte nur die Lösung, dass x=y=z=a=b=0 ist
Also sind die Vektoren linear unabhängig.
Demnach wäre dim [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = 5
Das kann ja aber nicht ganz stimmen oder? da wir uns in [mm] \IR^3 [/mm] befinden.
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> Ich habe das lgs aufgestellt:
Hallo,
ich möchte ungern als Detektiv tätig werden.
Vielleicht sagst Du erstmal, welche Basis Du nun für [mm] U_1 [/mm] hast und welche für [mm] U_2, [/mm] und wo dieses Gleichungssystem mit den 6 Unbekannten herkommt.
Irgendetwas scheint mir hier durcheinanderzu>gehen.
> x + 2z + a + 2b = 0
> y - z + 2a + 3b = 0
> 2x + y + 3z + 3a + 6b = 0
> und ich erhalte nur die Lösung, dass x=y=z=a=b=0
Ganz sicher nicht. Du hast ein homogenes LGS mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten.
Das hat unendlich viele Lösungen.
>ist
> Also sind die Vektoren linear unabhängig.
Wenn man nur wüßte, von welchen Du redest...
>
> Demnach wäre dim [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] = 5
> Das kann ja aber nicht ganz stimmen oder? da wir uns in
> [mm]\IR^3[/mm] befinden.
Genau.
Die Diemsnion kann höchstens =3 sein, und weil [mm] U_1 [/mm] die Dimension 2 hat, muß die Dimension der Summe mindestens =2 sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Balodil |
oh okay, dann blick ich noch nicht ganz durch.
also [mm] U_1 [/mm] hat ja die dimension 2 also brauche ich zwei Basen richtig?
Kann ich jetzt einfach zwei der Vektoren nehmen z.B.:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
oder muss ich mir da neue Vektoren basteln, die z.b. in der z-Komponente immer null sind?
und für [mm] U_2 [/mm] müsste ich dann ja einen Basisvektor aufstellen
z.B. [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Und dann stelle ich das lgs auf der Basen?
[mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = 0
???
lg Balodil
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Hallo,
> oh okay, dann blick ich noch nicht ganz durch.
> also [mm]U_1[/mm] hat ja die dimension 2 also brauche ich zwei
> Basen richtig?
Nein. Du brauchst eine Basis. Sie besteht aus zwei Basisvektoren.
> Kann ich jetzt einfach zwei der Vektoren nehmen z.B.:
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2 }[/mm] und [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
Ja. Sie sind linear unabhängig, und wenn Du den dritten der Vektoren dazunimmst, ist die Mnge nicht linear unabhängig.
Also bilden die beiden eine Basis von [mm] U_1.
[/mm]
> oder muss
> ich mir da neue Vektoren basteln, die z.b. in der
> z-Komponente immer null sind?
Nein. Es wird auch nicht gelingen, Vektoren zu finden, die [mm] U_1 [/mm] aufspannen und deren z-Komponenten alle =0 sind.
>
> und für [mm]U_2[/mm] müsste ich dann ja einen Basisvektor
> aufstellen
> z.B. [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm]
Irgendwie ist die Frage nicht beantwortet, welche Dimension [mm] U_2 [/mm] hat.
Welche denn? Basis?
>
> Und dann stelle ich das lgs auf der Basen?
> [mm]\lambda_1 \vektor{1 \\
0 \\
2 }[/mm] + [mm]\lambda_2 \vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\lambda_3 \vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm] = 0
Ob das der richtige Weg ist, hängt davon ab, welche Schlüsse Du daraus ziehst oder zu ziehen gedenkst.
Was wäre, wenn die 3 linear unabhängig sind?
Was, wenn sie abhängig sind?
Gruß v. Angela
>
> ???
>
> lg Balodil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Ah okay, ich glaube jetzt habe ich es.
Also ist die Basis von [mm] U_1 [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Und die dimension von [mm] U_2 [/mm] ist natürlich auch zwei und hat daher die Basis: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ; [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda_4 \vektor{2 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
Der vierte vektor lässt sich durch die addition der ersten drei darstellen, fällt somit quasi weg.
Die anderen drei sind allerdings linear unabhängig und somit ergibt sich die dim 3?
Sofern das richtig ist, habe ich das ja mehr oder weniger mit geschickt hinschauen gemacht, und in der VL hatten wir den Gauß Algo noch nicht, gibt es noch andere Möglichkeiten?
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> Sofern das richtig ist,
Hallo,
es ist richtig.
Allgemein: wenn Du von irgendeinem Raum das Erzeugendensystem [mm] v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_k [/mm] gegeben hast und eine Basis des von diesen Vektoren erzeugten Raumes angeben sollst, kannst Du aufgrund eines Satzes der in der VL dran war, sicher sein, daß dieses Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Man kann nun Basisvektoren abschöpfen.
Ist [mm] v_1 [/mm] der Nullvektor?
Ja: wegwerfen, den nächsten nehmen.
Nein: nimm [mm] v_2 [/mm] dazu und prüfe, ob [mm] (v_1, v_2) [/mm] linear unabhängig.
Wenn ja: [mm] v_3 [/mm] dazunehmen und prüfen, ob [mm] (v_1,v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig.
Wenn nein: [mm] v_2 [/mm] rauswerfen, [mm] v_3 [/mm] nehmen und prüfen, ob [mm] (v_1, v_3) [/mm] linear unabhängig.
So geht's immer weiter. Bei jeden Vektor entscheides Du, ob top oder flop, so lange, bis Du alle durch hast.
(Natürlich kannst Du zuvor aus dem Erzeugendensystem alles rauswerfen, was offensichtlich linear abhängig ist. Das haben wir ja auch getan, indem wir für [mm] U_1+U_2 [/mm] nur noch die Basisvektoren der beiden Räume im Rennen hatten.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 29.11.2011 | | Autor: | Balodil |
Super vielen Dank du hast mir sehr geholfen :)
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