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Hallo
kann mir einer mal geschwind erklären, wie ich von:
[mm] \bruch{(2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2}{6}
[/mm]
zu
[mm] \bruch{(2n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6}
[/mm]
komme.
Ich lande nach Umformung bei
[mm] \bruch{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}
[/mm]
... und weiß dann nicht mehr weiter :-(
Danke und Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 So 10.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
Was hast du denn umgeformt?
[mm](2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2[/mm] oder [mm](2n + 3)(n + 2)(n + 1)[/mm]
Wenn du richtig gerechnet hast (ich habe das nicht nachgeprüft), müsste ja beides [mm]2n^3 + 9n^2 + 13n + 6[/mm] ergeben. (Den Nenner habe ich der Einfachheit halber weggelassen)
In dem Falle siehst du, dass alle drei Terme identisch sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 Mo 11.12.2017 | | Autor: | sancho1980 |
Hi
das ist schon klar und ja, wenn ich die gesuchte Formel ausmultipliziere, komme ich auch auf meins - die Terme sind also gleich.
Es geht mir aber genau darum, von der genannten Ausgangs- auf die genannte Zielform zu kommen. Grund ist, dass ich versuche einen induktiven Beweis zu führen.
Also im Grunde hast du schon Recht; wenn ich die gesuchte Form so umstellen kann, dass die genauso aussieht, wie die, zu der ich gekommen bin, ist der Beweis natürlich auch erbracht. Aber ich dachte es gibt irgend einen eleganten Weg, um von der Ausgangsform auf genau die gesuchte Zielform zu kommen, in der nur noch (n+1) drin vorkommt und kein n isoliert dasteht. Versteht einer was ich meine?
Gruß und danke
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Mo 11.12.2017 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo
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> kann mir einer mal geschwind erklären, wie ich von:
Wenn du von
>
> [mm]\bruch{(2n + 1)(n + 1)n + 6(n + 1)^2}{6}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]\bruch{(2n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6}[/mm]
kommen willst, wäre es besser auszuklammern anstatt auszumultiplizieren.
nur mal den Zähler, da die Nenner gleich sind:
[mm] $n(2n+1)(n+1)+6(n+1)^2=$
[/mm]
$(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))=$ jetzt doch innerhalb der 2. Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen
[mm] $(n+1)(2n^2+7n+6)=$ [/mm] um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft Erfahrung oder rumprobieren, was einfacher ist, wenn man ja weis, was rauskommen soll
$(n+1)(2n+3)(n+2)$
>
> komme.
>
> Ich lande nach Umformung bei
>
> [mm]\bruch{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}[/mm]
>
> ... und weiß dann nicht mehr weiter :-(
>
> Danke und Gruß
>
> Martin
Gruß
meili
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Ähm, ich komm mir grad echt doof vor, aber wie hast du bei 6(n + [mm] 1)^2 [/mm] das n ausgeklammert und gleichzeitig das Quadrat wegbekommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mo 11.12.2017 | | Autor: | chrisno |
es wird (n+1) aus der Klammer gezogen. Dann beliebt von dem Quadrat (n+1)*(n+1) nur noch ein (n+1) zurück.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mo 11.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]
> Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft Erfahrung oder rumprobieren,
> was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll: [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]
Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der Vorteil).
Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese Zahlen vorkommen müssen).
Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar keine Faktorzerlegung. Insofern muss man auch darauf "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen - und zum endlosen Probieren animieren - will.
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> > [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]
> > Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft
> Erfahrung oder rumprobieren,
> > was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll:
> [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]
>
> Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der
> Vorteil).
> Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in
> Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt
> (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese
> Zahlen vorkommen müssen).
>
> Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> keine Faktorzerlegung.
???
Es ist [mm] 2n^2+8n+6=2(x+3)(x+1).
[/mm]
LG Angela
> Insofern muss man auch darauf
> "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen
> - und zum endlosen Probieren animieren - will.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mo 11.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> > Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> > keine Faktorzerlegung.
>
> ???
>
> Es ist [mm]2n^2+8n+6=2(n+3)(n+1)[/mm]
>
> LG Angela
Ja, sorry. Fred hat es auch schon gesagt:
Wenn die Gleichung z.B. [mm]2n^2+8n+6=0[/mm] eine (oder zwei) Lösung(en) hat, dann gibt es auch eine (oder zwei) Faktor-Lösungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 11.12.2017 | | Autor: | fred97 |
>
> > [mm](n+1)(2n^2+7n+6)=[/mm]
> > Um die 2. Klammer in Faktoren zu zerlegen, hilft
> Erfahrung oder rumprobieren,
> > was einfacher ist, wenn man ja weiß, was rauskommen soll:
> [mm](n+1)(2n+3)(n+2)[/mm]
>
> Genau darin liegt ja wohl die Schwierigkeit (oder auch der
> Vorteil).
> Wenn man weiß, dass sich die 2. Klammer überhaupt in
> Faktoren zerlegen lässt, kann man probieren, bis es klappt
> (die 6 könnte 2*3 oder aber auch 1*6 sein, so dass diese
> Zahlen vorkommen müssen).
Oh , Rabilein, probieren muss man hier gar nix: die quadratische Gleichung [mm] 2n^2+7n+6= [/mm] 0 hat die Lösungen , (die man mit der abc-Formel kriegt):
n=-2 und n=-3/2.
Damit hat man die Faktorisierung [mm] 2n^2+7n+6=2(n+2)(n+3/2)=(n+2)(2n+3).
[/mm]
>
> Wenn da aber statt 7n stehen würde 8n, dann gäbe es gar
> keine Faktorzerlegung. Insofern muss man auch darauf
> "vertrauen", dass der Aufgabensteller einen nicht reinlegen
> - und zum endlosen Probieren animieren - will.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 11.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> Die quadratische Gleichung [mm]2n^2+7n+6=[/mm] 0 hat die Lösungen ,
> (die man mit der abc-Formel kriegt):
>
> n=-2 und n=-3/2
Wenn sich daraus [mm](n+2)*(2n+3)[/mm] ergibt, dann doch ebenso [mm](n+1.5)*(2n+4)[/mm]
Okay, danach war nicht gefragt. Das Eigenartige an dieser Aufgabe war ja ohnehin, dass die Lösung bereits bekannt war und der Fragesteller nur wissen wollte, wie er dahin kommt.
Wenn man die Lösung aber nicht schon vorher kennt, dann muss man sicherlich so vorgehn, wie Fred gesagt hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Di 12.12.2017 | | Autor: | sancho1980 |
> Okay, danach war nicht gefragt. Das Eigenartige an dieser
> Aufgabe war ja ohnehin, dass die Lösung bereits bekannt
> war und der Fragesteller nur wissen wollte, wie er dahin
> kommt.
Wie gesagt ging es um einen induktiven Beweis. Die Ausgangsformel, die für den Basisfall n = 1 galt, soll auch für (n + 1) gelten. Daher war die gesuchte Zielformel diejenige Formel, die sich ergibt, wenn man in der Ausgangsformel n durch (n + 1) ersetzt.
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