Umformung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 So 16.12.2007 | | Autor: | Narokath |
| Aufgabe | Es Sei [mm] E_{m} [/mm] die Einheitsmatrix vom Typ (m,m). Ferner seien B vom Typ (m,n), C vom Typ(n,m) und D vom Typ (n,n). Beweisen Sie:
det [mm] \pmat{ E_{m} & B \\ C & D } [/mm] = det(D-CB) |
Hallo,
Als Zusatztipp haben wir bekommen das sich dies durch Zeilenumformung lösen lassen soll. Jedoch bin ich (+ komilitonen) ratlos wie man das hier anstellen kann. Ich hätte nicht mal ein Ansatz.
Es wäre nett, wenn jemand mir ein Tipp geben könnte.
Danke
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 16.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Das ist doch nicht so schwer.
Um die Einträge in C zu eliminieren, ziehst du einfach entsprechend oft die oberen Zeilen ab.
zum Beispiel hast du ja
[mm] C=\pmat{c_{11} & c_{12} & \ldots \\ c_{21} & c_{22} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots}
[/mm]
Da darüber die Einheitsmatrix steht, kannst du jetzt die Matrix so umformen, dass am Ende die Nullmatrix steht.
Ziehe [mm] c_{11} [/mm] mal die 1. Zeile von der m+1-ten ab. Da fliegt das [mm] c_{11} [/mm] raus. Ergänze dementsprechend die Matrix D, indem du da die Zeile von B mit [mm] c_{11} [/mm] multipliziert abziehst.
Ziehe jetzt [mm] c_{12} [/mm] mal die 2. Spalte von der m+1-ten ab, da fliegt [mm] c_{12} [/mm] raus. Das ganze durch, dann hast du die erste Zeile von C zur Nullzeile gemacht. Mache das ganze weiter, bis C ganz weg ist. Beachte jetzt, was jetzt für D dort steht.
Am Ende hast du folgende Form:
[mm] \pmat{E_m & B \\ 0 & X}
[/mm]
Dafür gibt es einen Satz, die Determinante ist jetzt [mm] det(E_{m})*det(X)=det(X). [/mm] Wenn du das mal ganz sauber aufschreibst wirst du auch sehen, dass X=D-CB ist.
Reicht das als Hilfe?
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