Umkehrfkt. des sinh(x) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | eine weitere Frage zu meiner FACHARBEIT:
Ich suche die Herleitung des arsinh(x).
sinh(x)= [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
arsinh(x)=ln(x+ [mm] \wurzel{1+x^2}) [/mm] |
für eine Umkehrfunktion vertausche ich ja x und y, d.h. ich habe die fkt.
[mm] x=\bruch{1}{2}(e^{y}-e^{-y})
[/mm]
und muss das ganze jetzt nach y auflösen.
was passiert, wenn ich den ln auf [mm] e^{y}-e^{-y} [/mm] loslasse, gibts da nicht noch irgendeine summenregel, oder wie soll das funktionieren.
vielen dank im vorraus für alle Antworten!
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so, jetzt hab ich das so gemacht, resubstituiert und hab jetzt blöderweise ein überflüssiges - in der lösung stehen.
also, mit der p/q formel kommt man ja auf zwei lösungen(klar: quadratische Gleichung).
um eine Umkehrfunktion zu bekommen lass ich einfach einen "zweig" der umkehrrelation weg. auch klar,
aber die lösung soll
[mm] ln(x+\wurzel{(x^2) +1}) [/mm] sein, bei mir kommt aber
[mm] -y=ln(x+\wurzel{(x^2) +1}) [/mm] raus.
Rechenweg:
[mm] x=\bruch{1}{2}(e^y- e^{-y})
[/mm]
[mm] 2x=(e^y- e^{-y})
[/mm]
TIPP: [mm] *e^y
[/mm]
[mm] 2x*e^y= [/mm] (e^2y- [mm] e^{y-y})
[/mm]
[mm] 2x*e^y=e^{2y} [/mm] -1
TIPP:Substitution:
2x*z= [mm] z^2 [/mm] -1
Tipp: p/q-formel
[mm] 0=z^{2}-2x*z [/mm] -1
mit Lösungsformel:(nur eine der gleichungen=> reicht für Umkehrfunktion)
[mm] z_{1}=-x+\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
Resubstitution:
[mm] e^y=-x+\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
y= [mm] ln(-!x+\wurzel{x^{2}+1})
[/mm]
hab ich irgendwo einen Vorzeichen Fehler gemacht, oder woher kommt das? und wie komme ich auf die richtige Lösung?
liebe Grüße, andy
P.S: vielen Dank Loddar, dein tip hat mir, wie du siehst schon ziemlich geholfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andy!
Du machst in der Anwendung der  p/q-Formel einen Vorzeichenfehler.
[mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{p}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q \ }$
[/mm]
Dies ergibt für unsere Gleichung [mm] $z^2-2x*z-1 [/mm] \ =ß 0$ :
[mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\red{-}2x}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{2x}{2}\right)^2-(-1) \ } [/mm] \ = \ [mm] \red{+}x [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{x^2+1 \ }$
[/mm]
Und bitte nicht einfach eine der beiden Lösungen unter den Tisch fallen lassen.
Warum brauche ich [mm] $z_{2} [/mm] \ = \ x \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \wurzel{x^2+1 \ }$ [/mm] nicht weiter betrachten? Denke mal an den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ...
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Super, vielen Dank für die prompte Antwort.
mit der zweiten Lösung:
nach deiner Rüge  :
D des ln [mm] :[0;\infty[
[/mm]
und [mm] x-\wurzel{[x^2]+1}<0 [/mm]
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mein Erklärungsversuch:
[mm] x=\wurzel{x^2}<\wurzel{(x^2)+1}.
[/mm]
Stimmt des so?
Liebe Grüße, andy
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ja, stimmt, hab ich mich vertippt,
also ich danke dir vielmals für deine antworten.
ich finds echt super, dass du und die ganzen anderen hier ihre freizeit opfern um anderen zu helfen!
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| Aufgabe | es geht um die Umkehrfunktion des cosh(x):
alle Rechenschritte konnten exakt wie beim sinh(x) vollzogen werden, jetzt fehlt mir aber wieder der schritt von der
Umkehrrelation
[mm] arcosh(x)=ln(x\pm\wurzel{(x^2)-1}
[/mm]
zur Funktion |
da in diesem fall ja
[mm] x=\wurzel{x^2}>\wurzel{(x^2)-1}
[/mm]
ist der Ausdruck nach dem ln immer >0 , d.h. ich kann bei der Wahl eines Zweiges für die Umkehrfunktion nicht auf die Begründung über die Def. menge des ln gehen.
welchen der beiden Zweige sollte man denn jetzt wählen und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andy!
Vergleichbar der Funktion $y \ =\ [mm] x^2$ [/mm] ist $f(x) \ = \ [mm] \cosh(x)$ [/mm] nicht eindeutig umkehrbar bzw. nicht für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] .
Du musst hier also eine Fallunterscheidung machen für $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. $x \ < \ 0$. Daraus ergibt sich dann der entsprechende "Ast" mit $+_$ oder $-_$ innerhalb des Logarithmus'.
Vielleicht wird dies ja etwas deutlicher mit dieser Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | Hallo nochmal, ich muss jetzt leider diesen alten Hut nochmal aufwärmen:
ich verstehe die Erklärung so schon, allerdings findet man in wikipedia als umkehrfunktion nur den + zweig ( arcosh(x) = ln( x+ [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] )
und bei der Aufteilung in Bereiche hätte ich dann bei 0 [mm] \le [/mm] x den + zweig,
bei 0>x den - zweig?
und wie schreib ich das dann am ende am sinnvollsten hin, weil es dann ja nichtmehr um +-x, sondern um +-y geht. |
Vielen Dank für eure Bemühungen, andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
So, wie es in der Wikipedia steht, entspricht es den allgemeinen Normen.
Man bezeichnet mit der Arkuskosinus-Funktion die Umkehrfunktion $arccosh: [mm] [1,\infty[ \to [0,\infty[$ [/mm] der bijektiven Funktion [mm] $cosh|_{[0,\infty[} [/mm] : [mm] [0,+\infty[ \to [1,+\infty[$, [/mm] beschränkt sich also auf diesen Zweig.
Der Vollständigkeit halber kann du ja dann auch noch den anderen Zweig betrachten und diese Funktion dann [mm] $arccosh_2$ [/mm] nennen...
Liebe Grüße
Julius
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Vielen Dank Julius!
liebe Grüße, Lemming
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