Umkehrfunktion Definition < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei [mm] $f:X\to [/mm] Y$ bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion oder Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}:Y\to [/mm] X$ von $f$ die eindeutig bestimmte Funktion mit [mm] $f\circ f^{-1}=id_Y$ [/mm] und [mm] $f^{-1}\circ f=id_X$. [/mm] |
Hallo,
ich hätte die Frage, ob es hierbei notwendig ist, beide Gleichheitsbeziehungen nachzuprüfen, oder ob beide äquivalent sind.
Ich bin nicht wirklich drauf gekommen.
Liebe Grüße
Mathe-Liebhaber
|
|
| |
|
> Es sei [mm]f:X\to Y[/mm] bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion oder
> Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y\to X[/mm] von [mm]f[/mm] die eindeutig bestimmte
> Funktion mit [mm]f\circ f^{-1}=id_Y[/mm] und [mm]f^{-1}\circ f=id_X[/mm].
>
> Hallo,
>
> ich hätte die Frage, ob es hierbei notwendig ist, beide
> Gleichheitsbeziehungen nachzuprüfen, oder ob beide
> äquivalent sind.
> Ich bin nicht wirklich drauf gekommen.
>
> Liebe Grüße
> Mathe-Liebhaber
Wenn die Aufgabe darin besteht, die Behauptung zu
beweisen, dann sind natürlich beide Teilaussagen
zu begründen ! Einfach äquivalent sind sie schon
nicht.
Nach meiner Ansicht geht es ja aber in erster Linie
um eine Definition, also Begriffserklärung, und gar
nicht unbedingt um eine eigentliche "Aufgabe".
LG, Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> > Es sei [mm]f:X\to Y[/mm] bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion oder
> > Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y\to X[/mm] von [mm]f[/mm] die eindeutig bestimmte
> > Funktion mit [mm]f\circ f^{-1}=id_Y[/mm] und [mm]f^{-1}\circ f=id_X[/mm].
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hätte die Frage, ob es hierbei notwendig ist, beide
> > Gleichheitsbeziehungen nachzuprüfen, oder ob beide
> > äquivalent sind.
> > Ich bin nicht wirklich drauf gekommen.
> >
> > Liebe Grüße
> > Mathe-Liebhaber
>
>
> Wenn die Aufgabe darin besteht, die Behauptung zu
> beweisen, dann sind natürlich beide Teilaussagen
> zu begründen ! Einfach äquivalent sind sie schon
> nicht.
> Nach meiner Ansicht geht es ja aber in erster Linie
> um eine Definition, also Begriffserklärung, und gar
> nicht unbedingt um eine eigentliche "Aufgabe".
>
> LG, Al-Chw.
>
>
Hallo,
nein, das ist keine Aufgabe, das habe ich aus versehen oben reingetippt. Eigentlich soll ich für bijektive [mm] f:X\to{}Y, g:Y\to{}V [/mm] zeigen, dass [mm] (g\circ{}f)^{-1}=f^{-1}\circ{}g^{-1}. [/mm] Ich habe mich gefragt, ob es reicht zu zeigen, dass [mm] $(g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)=id_X=(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ [/mm] f), oder ob ich auch zeigen muss, dass $(g f)(g [mm] f)^{}-1=id_V=(g [/mm] f) [mm] (f^{-1} g^{-1})$?
[/mm]
Entschuldige, hatte am Ende keine Lust mehr auf die ganzen circs.
Vielen Dank schonmal für die Antwort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Do 06.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> > > Es sei [mm]f:X\to Y[/mm] bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion oder
> > > Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y\to X[/mm] von [mm]f[/mm] die eindeutig bestimmte
> > > Funktion mit [mm]f\circ f^{-1}=id_Y[/mm] und [mm]f^{-1}\circ f=id_X[/mm].
>
> > > ich hätte die Frage, ob es hierbei notwendig ist, beide
> > > Gleichheitsbeziehungen nachzuprüfen, oder ob beide
> > > äquivalent sind.
Wenn f bijektiv ist, sind beide Gleichheitsbeziehungen in der Tat äquivalent.
Dagegen ist es auch möglich, die Bijektivität von f mittels der Existenz einer Abbildung [mm] $g\colon Y\to [/mm] X$ mit [mm] $f\circ g=id_Y$ [/mm] und [mm] $g\circ f=id_X$ [/mm] nachzuweisen. Dabei sind die Gleichungen [mm] $f\circ g=id_Y$ [/mm] und [mm] $g\circ f=id_X$ [/mm] nicht äquivalent.
> Eigentlich soll ich für bijektive [mm]f:X\to{}Y, g:Y\to{}V[/mm]
> zeigen, dass [mm](g\circ{}f)^{-1}=f^{-1}\circ{}g^{-1}.[/mm] Ich habe
> mich gefragt, ob es reicht zu zeigen, dass [mm]$(g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)=id_X=(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ[/mm]
> f),
[mm] $(g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)=id_X$ [/mm] ist nach deiner eingangs zitierten Bemerkung klar. Was du benötigst, ist [mm] $(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f)=id_X$.
[/mm]
> oder ob ich auch zeigen muss, dass $(g f)(g
> [mm]f)^{}-1=id_V=(g[/mm] f) [mm](f^{-1} g^{-1})$?[/mm]
Da du anscheinend schon weißt, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ ebenfalls bijektiv ist (denn sonst macht [mm] $(g\circ f)^{-1}$ [/mm] gar keinen Sinn), reicht nach meiner obigen Behauptung, eine der beiden Gleichheiten zu zeigen. Allerdings solltest du meine obige Behauptung dann noch beweisen... 
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo
> Hallo Mathematik-Liebhaber,
>
>
> > > > Es sei [mm]f:X\to Y[/mm] bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion oder
> > > > Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y\to X[/mm] von [mm]f[/mm] die eindeutig bestimmte
> > > > Funktion mit [mm]f\circ f^{-1}=id_Y[/mm] und [mm]f^{-1}\circ f=id_X[/mm].
>
> >
> > > > ich hätte die Frage, ob es hierbei notwendig ist, beide
> > > > Gleichheitsbeziehungen nachzuprüfen, oder ob beide
> > > > äquivalent sind.
> Wenn f bijektiv ist, sind beide Gleichheitsbeziehungen in
> der Tat äquivalent.
>
> Dagegen ist es auch möglich, die Bijektivität von f
> mittels der Existenz einer Abbildung [mm]g\colon Y\to X[/mm] mit
> [mm]f\circ g=id_Y[/mm] und [mm]g\circ f=id_X[/mm] nachzuweisen. Dabei sind
> die Gleichungen [mm]f\circ g=id_Y[/mm] und [mm]g\circ f=id_X[/mm] nicht
> äquivalent.
>
>
> > Eigentlich soll ich für bijektive [mm]f:X\to{}Y, g:Y\to{}V[/mm]
> > zeigen, dass [mm](g\circ{}f)^{-1}=f^{-1}\circ{}g^{-1}.[/mm] Ich habe
> > mich gefragt, ob es reicht zu zeigen, dass [mm]$(g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)=id_X=(f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ[/mm]
> > f),
> [mm](g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)=id_X[/mm] ist nach deiner
> eingangs zitierten Bemerkung klar. Was du benötigst, ist
> [mm](f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f)=id_X[/mm].
>
> > oder ob ich auch zeigen muss, dass $(g f)(g
> > [mm]f)^{}-1=id_V=(g[/mm] f) [mm](f^{-1} g^{-1})$?[/mm]
> Da du anscheinend
> schon weißt, dass [mm]g\circ f[/mm] ebenfalls bijektiv ist
Ja, das musste ich schon beweisen.
> (denn
> sonst macht [mm](g\circ f)^{-1}[/mm] gar keinen Sinn), reicht nach
> meiner obigen Behauptung, eine der beiden Gleichheiten zu
> zeigen. Allerdings solltest du meine obige Behauptung dann
> noch beweisen...
Ich muss also zeigen:
Sind [mm] $f:X\to [/mm] Y$ und [mm] $g:Y\to [/mm] X$ bijektive Abbildungen, so gilt:
[mm] $g\circ f=id_X\iff f\circ g=id_Y$.
[/mm]
Aber ich habe nicht wirklich eine Idee. Auch nicht mit Widerspruch oder Kontraposition. Könntest du mir weiterhelfen?
Liebe Grüße
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 06.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss also zeigen:
>
> Sind [mm]f:X\to Y[/mm] und [mm]g:Y\to X[/mm] bijektive Abbildungen, so gilt:
> [mm]g\circ f=id_X\iff f\circ g=id_Y[/mm].
Genau. Der Zusammenhang gilt sogar auch ohne die Voraussetzung $g$ bijektiv.
[mm] $g\circ f=id_X$ [/mm] bedeutet gerade: [mm] $(g\circ f)(x)=id_X(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$, was wiederum gleichbedeutend mit $g(f(x))=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ ist.
[mm] $f\circ g=id_Y$ [/mm] bedeutet gerade: [mm] $(f\circ g)(y)=id_Y(y)$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$, was wiederum gleichbedeutend mit $f(g(y))=y$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ist.
> Aber ich habe nicht
> wirklich eine Idee. Auch nicht mit Widerspruch oder
> Kontraposition. Könntest du mir weiterhelfen?
Zeige wie üblich bei Äquivalenzbeweisen nacheinander beide Richtungen.
Hin-Richtung: Gelte [mm] $g\circ f=id_X$, [/mm] also $g(f(x))=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Zu zeigen ist $f(g(y))=y$ für alle [mm] $y\in [/mm] Y$.
Sei also [mm] $y\in [/mm] Y$. Zu zeigen ist $f(g(y))=y$.
Soweit der "Rahmen" des Beweises der Hinrichtung.
Wir müssen nun irgendwie an ein [mm] $x\in [/mm] X$ kommen, auf das wir die Voraussetzung $g(f(x))=x$ anwenden können.
Was liefert die Surjektivität von $f$ für unser $y$?
Versuche mal, selbst den "Rahmen" für die Rück-Richtung zu basteln!
|
|
|
|
