Umkehrfunktion bilden < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mo 20.10.2014 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Bilden Sie die Umkehrfunktion zu:
f(x)= [mm] \bruch{1}{2+ e^{2x}} [/mm] |
Hallo Forum,
da mir hier schon oft weitergeholfen wurde, wende ich mich wieder an euch.
Wie man generell eine Umkehrfunktion bildet ist mir bewusst. nach X auflösen und die X mit Y tauschen, grob gesagt.
Mit "normalen" Zahlen habe ich auch kein so großes Problem, aber sobald irgendwelche Logarithmen etc. drankommen, setzt es bei mir aus.
Bei dieser Aufgabe bitte ich um ein wenig Hilfe. Ich habe hier keine Idee wie ich richtig vorgehen sollte. Mein erster Gedanke wäre, den Nenner nach oben zu holen á la:
f(x)= [mm] (2+e^{2x})^{-1}
[/mm]
Aber das scheint mir schon nicht ganz koscher. Ich weiß, dass wenn vor dem e nichts mehr steht, ich den ln nutzen kann...aber bis dahin brauche ich Hilfe.
Ich hoffe auf zahlreiche Hilfestellungen oder Infos wo ich relativ "einfach" mich weiter belesen kann.
Bis dahin erst mal und danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
versuche die Gleichung $y= [mm] \bruch{1}{2+ e^{2x}} [/mm] $ nach x aufzulösen.
Dazu kannst du zunächst den Kehrwert bilden, dann 2 auf die andere Seite schaufeln und die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion anwenden.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 20.10.2014 | | Autor: | jengo32 |
Danke für die schnelle Antwort,
meinst du ich soll den Bruch mit dem Kehrwert multiplizieren?
y= [mm] \bruch{1}{2+ e^{2x}} [/mm] | * [mm] 2+e^{2x}
[/mm]
dann würde doch folgen:
[mm] 2+e^{2x} [/mm] * y = 1
dann 2 rüber wäre:
[mm] e^{2x} [/mm] * y = -1 | ln
und das scheint falsch zu sein, korrekt?
:S :/ danke dir trotzdem schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jengo!
> meinst du ich soll den Bruch mit dem Kehrwert
> multiplizieren?
Andi meinte hier folgendes (hier sehr ausführlich geschrieben):
$y \ = \ [mm] \bruch{1}{2+e^{2x}} [/mm] \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] \bruch{1}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2+e^{2x}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2+e^{2x}}{1} [/mm] \ = \ [mm] 2+e^{2x}$
[/mm]
> y= [mm]\bruch{1}{2+ e^{2x}}[/mm] | * [mm]2+e^{2x}[/mm]
Aber es geht auch auf diesem Wege ... wenn Du entscheidende Klammern setzt:
> dann würde doch folgen:
> [mm]2+e^{2x}[/mm] * y = 1
[mm] $\red{(}2+e^{2x}\red{)}*y [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 21.10.2014 | | Autor: | jengo32 |
> [mm]\red{(}2+e^{2x}\red{)}*y \ = \ 1[/mm]
könnte ich dann:
[mm]\red{(}2+e^{2x}\red{)}*y \ = \ 1[/mm] | :y
> [mm] 2+e^{2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] |ln
> ln(2)+2x = [mm] ln(\bruch{1}{y}) [/mm] | -ln(2)
> 2x = [mm] ln(\bruch{1}{y})- [/mm] ln(2) | :2
> x = [mm] \bruch{ln(\bruch{1}{y})-ln(2)}{2}
[/mm]
und dann anschließend x und y vertauschen... ( ? )
Gruß
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Hiho,
> > [mm]2+e^{2x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{y}[/mm] |ln
>
> > ln(2)+2x = [mm]ln(\bruch{1}{y})[/mm] | -ln(2)
Hier machst du einen Fehler, denn es gilt [mm] $\ln(x+y) \not= \ln(x) [/mm] + [mm] \ln(y)$
[/mm]
Bringe erst die Zwei auf die andere Seite, bevor du den Logarithmus bildest.
Und dann beachte den Hinweis.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 21.10.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Gono,
2 zuerst auf die andere Seite :
[mm] e^{2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] -2 |ln
Jetzt bilde ich den Logarithmus, ich bin mir aber nicht sicher was dabei rauskommt.
2x = [mm] ln(\bruch{1}{y} [/mm] -2) Nächster Schritt wäre dann durch 2 dividieren..aber das stimmt bis dahin denke ich nicht oder?
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Hiho,
> aber das stimmt bis dahin denke ich nicht oder?
warum sollte es nicht?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 21.10.2014 | | Autor: | jengo32 |
Weil ich meinen Berechnungen prinzipiell skeptisch gegenüberstehe :P..
wenn ich dann also noch durch 2 teile, ergäbe sich
x= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{y}-2 [/mm] )
y= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{x}-2 [/mm] )
ist das Ergebnis korrekt?
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HIho,
> wenn ich dann also noch durch 2 teile, ergäbe sich
>
> x= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{y}-2[/mm] )
>
>
> y= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{x}-2[/mm] )
> ist das Ergebnis korrekt?
Ja. Kann man so stehen lassen, oder noch umschreiben zu
[mm]\bruch{1}{2}*ln(\bruch{1}{x}-2 ) = \ln\left(\sqrt{\bruch{1}{x}-2}\right) = \ln\left(\sqrt{\bruch{1-2x}{x}}\right)[/mm]
Such dir aus, was dir davon am Besten gefällt.
Gruß,
Gono
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