Umkehrsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:54 Do 03.06.2010 | | Autor: | K0libri |
| Aufgabe | | Sei [mm]D= \{(x,y) \in \IR^2 | 0 < x < y \}[/mm]und sei [mm]f: D \to \IR^2 , (x,y) \mapsto (log(xy), 1/x^2 + y^2)[/mm]. Zeigen Sie, dass für alle [mm]\varepsilon \in D[/mm] eine offen Menge [mm]U \subseteq D[/mm] mit [mm]\varepsilon \in U[/mm] existiert, so dass die Funktion [mm]f:U \mapsto f(U)[/mm] eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Bestimmen sie die Ableitung der Umkehrabbildung im Punkt [mm]f(\varepsilon)[/mm] |
Hallo!
Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich glaub mein Hauptproblem ist erstmal, dass ich nicht richtig verstehe, was mir der Umkehrsatz genau sagt.
Folgt aus einer Jacobi-matrix [mm] \not= [/mm] 0 schon, dass die Menge U existiert?
Ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß geben.
Gruß
k0libri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Do 03.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]D= \{(x,y) \in \IR^2 | 0 < x < y \}[/mm]und sei [mm]f: D \to \IR^2 , (x,y) \mapsto (log(xy), 1/x^2 + y^2)[/mm].
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]\varepsilon \in D[/mm] eine offen
> Menge [mm]U \subseteq D[/mm] mit [mm]\varepsilon \in U[/mm] existiert, so
> dass die Funktion [mm]f:U \mapsto f(U)[/mm] eine stetig
> differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Bestimmen sie die
> Ableitung der Umkehrabbildung im Punkt [mm]f(\varepsilon)[/mm]
> Hallo!
> Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll. Ich glaub mein Hauptproblem ist erstmal,
> dass ich nicht richtig verstehe, was mir der Umkehrsatz
> genau sagt.
> Folgt aus einer Jacobi-matrix [mm]\not=[/mm] 0 schon, dass die Menge
> U existiert?
Wenn
F(u,v,x,y)=0
G(u,v,x,y)=0
in [mm] u_0,v_0,x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] nach x und y in der Form
[mm] x=g^{x}(u,v) [/mm] und [mm] y=g^{y}(u,v) [/mm] auflösbar sein sollen in einer Umgebung um [mm] (u_0,v_0) [/mm] herum, dann darf die Determinante der Jakobi-Matrix [mm] J_{u,v}(F,G)(x_0,y_0,u_0,v_0) [/mm] (mit den partiellen Ableitungen nach u und v) nicht verschwinden.
Konkret hast Du [mm] F(u,v,x,y)=u-f^{u}(x,y)=0 [/mm] und [mm] G(u,v,x,y)=v-f^{v}(x,y)=0 [/mm] gegeben.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 03.06.2010 | | Autor: | K0libri |
Erstmal danke für die Antwort. Ich befürchte aber ich hab davon nicht viel verstanden.
Heißt das ich frage mich im konkreten fall ob [mm] \vektor{ z1= log(x*y) \\ z2= 1/x^2+y^2 } [/mm] auflösbar ist nach x und y? UNd das ist nur der Fall wenn die Determinante der Jacobimatrix nicht verschwindet?
Ich hab mal die Jacobimatrix von f aufgestellt.
[mm] \pmat{ \bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ \bruch{2x}{-(x^2+y^2)^2} & \bruch{2x}{-(x^2+y^2)^2} }
[/mm]
die Determinante der Matrix ist ungleich 0 für unterschiedliche x und y.
Ist davon irgendwas zu gebrauchen?:)
Gruß
k0libri
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Hallo KOlibri,
> Erstmal danke für die Antwort. Ich befürchte aber ich hab
> davon nicht viel verstanden.
>
> Heißt das ich frage mich im konkreten fall ob [mm]\vektor{ z1= log(x*y) \\ z2= 1/x^2+y^2 }[/mm]
> auflösbar ist nach x und y? UNd das ist nur der Fall wenn
Ja.
> die Determinante der Jacobimatrix nicht verschwindet?
Die Jacobimatrix darf in einem vorgegebenen Punkt nicht verschwinden.
Verschwindet die Jacobimatrix in diesem Punkt nicht, so ist obiges
Gleichungssystem lokal, d.h. in einer Umgebung dieses Punktes,
auflösbar nach x und y.
>
> Ich hab mal die Jacobimatrix von f aufgestellt.
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ \bruch{2x}{-(x^2+y^2)^2} & \bruch{2x}{-(x^2+y^2)^2} }[/mm]
Da hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]\pmat{ \bruch{1}{x} & \bruch{1}{y} \\ \bruch{2x}{-(x^2+y^2)^2} & \bruch{2\red{y}}{-(x^2+y^2)^2} }[/mm]
>
> die Determinante der Matrix ist ungleich 0 für
> unterschiedliche x und y.
> Ist davon irgendwas zu gebrauchen?:)
Ja.
Jetzt kannst Du die Punkte, für welche die Jacobimatrix
nicht verschwindet, genauer eingrenzen.
> Gruß
> k0libri
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 03.06.2010 | | Autor: | K0libri |
Vielen Dank MathePower!
Also wenn ich die Determinante genau betrachte ergibt sich
[mm] \bruch{-2y}{y*(x^2+y^2)^2} [/mm] + [mm] \bruch {2x}{y(x^2+y^2)^2}
[/mm]
auf einem Hauptnenner [mm] \bruch {-2y^2+2x^2}{xy(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Das wird nur null wenn [mm] 2x^2=2y^2 [/mm] also entweder für x=y oder x=-y
Kann ich jetzt folgern, dass diese beiden Möglichkeiten in der Menge D nicht enthalten sind(da 0<x<y) und somit immer eine Umkehrfunktion existiert?
Gruß k0libri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 03.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Vielen Dank MathePower!
>
> Also wenn ich die Determinante genau betrachte ergibt sich
>
> [mm]\bruch{-2y}{y*(x^2+y^2)^2}[/mm] + [mm]\bruch {2x}{y(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> auf einem Hauptnenner [mm]\bruch {-2y^2+2x^2}{xy(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Das wird nur null wenn [mm]2x^2=2y^2[/mm] also entweder für x=y
> oder x=-y
>
> Kann ich jetzt folgern, dass diese beiden Möglichkeiten in
> der Menge D nicht enthalten sind(da 0<x<y) und somit immer
> eine Umkehrfunktion existiert?
>
Ja.
Sie sollte sogar global in D existieren:
[mm] x=\wurzel{\frac{1}{2v}-\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{\frac{1}{2v}+\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}
[/mm]
wenn [mm] u=\ln(xy) [/mm] und [mm] v=1/(x^2+y^2)
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 03.06.2010 | | Autor: | K0libri |
>
> Sie sollte sogar global in D existieren:
>
> [mm]x=\wurzel{\frac{1}{2v}-\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}[/mm]
> [mm]y=\wurzel{\frac{1}{2v}+\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}[/mm]
Ich komme irgendwie nicht auf dein Ergebnis. Bei mir liefert das Umformen
für
x= [mm] \pm \wurzel{ \bruch{1}{2v} \pm \wurzel{\bruch{1}{v^2}-e^{2u}}} [/mm]
Für y genau das gleiche:
Die [mm] \pm [/mm] kann man wohl aus den Bedingungen zu + oder - machen aber wo kommt die 4 in dem einen Nenner her?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 03.06.2010 | | Autor: | gfm |
> >
> > Sie sollte sogar global in D existieren:
> >
> > [mm]x=\wurzel{\frac{1}{2v}-\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}[/mm]
> > [mm]y=\wurzel{\frac{1}{2v}+\wurzel{\frac{1}{4v^2}-e^{2u}}}[/mm]
>
> Ich komme irgendwie nicht auf dein Ergebnis. Bei mir
> liefert das Umformen
> für
>
> x= [mm]\pm \wurzel{ \bruch{1}{2v} \pm \wurzel{\bruch{1}{v^2}-e^{2u}}}[/mm]
>
> Für y genau das gleiche:
> Die [mm]\pm[/mm] kann man wohl aus den Bedingungen zu + oder -
Richtig, x<y bestimmt die Vorzeichenkombination.
> machen aber wo kommt die 4 in dem einen Nenner her?
Na, Dein Ergebnis sieht doch auch nach p-q-Formel aus. Wenn ein p vor der Wurzel steht, steht unter der Wurzel [mm] p^2. [/mm] Du hast ein 1/2 vor der Wurzel, deswegen sollte 1/4 unter der Wurzel auftauchen.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 03.06.2010 | | Autor: | K0libri |
danke! jetzt habe ich auch die p-q formel richtig angewendet....
Vielen Dank für die Geduld !
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