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| Aufgabe | | Hallo ich muss in Lineare Algebra mein Proseminar machen und habe übelste Probleme mit Geometrie ( wie ich jetzt merke). Mein Thema ist unter anderen der Umkreis eines Dreiecks. Das Problem ist, das ich ein Beweis nicht ganz verstehe bzw. die Schritte nicht nachvollziehen kann( Der Beweis ist aus dem Buch "Ebene Geometrie von Max Koecher). Ich poste den mal und hoffe das mir jmd nen Tipp geben kann. |
Den Beweis steht hier auf Seite 159 bzw. 160 : ![[]](/images/popup.gif) Der Umkreis
[Edit] Achso: Ich habe mich für die 2. Variante des Beweises entschieden.
Die Eindeutigkeit ist mir klar 
Aber der Existenzbeweis macht mir zu schaffen.
Bis [mm] $\sigma_{abc}$ [/mm] ist mir noch alles klar. Aber warum muss er noch zeigen, dass [mm] $\sigma_{abc}$ [/mm] = [mm] $\rho_{abc}$ [/mm] ist.
Zudem habe ich mit der Umformung der Gleichung Probleme.
der Verweis III.1.2(2) ist nicht anderes als das [mm] $|x^\bot|=|x|$ [/mm] gilt.
Und da c=0 ist, fällt das halt aus der Formel raus.Also:
[mm] $m_{ab0}=\frac{1}{2[a,b]}(|b|^2*a^\bot [/mm] + [mm] (-|a|^2*b^\bot)$
[/mm]
Aber warum gilt dann:
[mm] $|m_{ab0}|^2=\frac{1}{2^2[a,b]^2}*||b|^2a-|a|^2b|^2$ [/mm] ?
Nur weil ich aussen den Betrag hinzunehme darf in dem Ausdruck [mm] $a^\bot$ [/mm] durch $a$ ersetzten ?
Nun gut, das habe ich dann mal hingenommen.
ABER, warum gilt :
[mm] $||b|^2a-|a|^2b|^2=|a||b||a-b|$
[/mm]
Ich habe ganze DinA4-Seiten vollgeschrieben um mir das klar zu machen (über Skalarprodukt etc.) aber ich habs net geschafft.
Wär schön wenn mir da jemand evtl nen Tipp geben könnte.
Vielen Dank im Voraus!
Grüße
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Hallo Charlie1984,
mal zur zweiten Frage ...
> Hallo ich muss in Lineare Algebra mein Proseminar machen
> und habe übelste Probleme mit Geometrie ( wie ich jetzt
> merke). Mein Thema ist unter anderen der Umkreis eines
> Dreiecks. Das Problem ist, das ich ein Beweis nicht ganz
> verstehe bzw. die Schritte nicht nachvollziehen kann( Der
> Beweis ist aus dem Buch "Ebene Geometrie von Max Koecher).
> Ich poste den mal und hoffe das mir jmd nen Tipp geben
> kann.
> Den Beweis steht hier auf Seite 159 bzw. 160 :
> Der Umkreis
>
> [Edit] Achso: Ich habe mich für die 2. Variante des
> Beweises entschieden.
>
> Die Eindeutigkeit ist mir klar
> Aber der Existenzbeweis macht mir zu schaffen.
> Bis [mm]\sigma_{abc}[/mm] ist mir noch alles klar. Aber warum muss
> er noch zeigen, dass [mm]\sigma_{abc}[/mm] = [mm]\rho_{abc}[/mm] ist.
> Zudem habe ich mit der Umformung der Gleichung Probleme.
>
> der Verweis III.1.2(2) ist nicht anderes als das
> [mm]|x^\bot|=|x|[/mm] gilt.
> Und da c=0 ist, fällt das halt aus der Formel raus.Also:
>
> [mm]m_{ab0}=\frac{1}{2[a,b]}(|b|^2*a^\bot + (-|a|^2*b^\bot)[/mm]
>
> Aber warum gilt dann:
>
>
> [mm]|m_{ab0}|^2=\frac{1}{2^2[a,b]^2}*||b|^2a-|a|^2b|^2[/mm] ?
> Nur weil ich aussen den Betrag hinzunehme darf in dem
> Ausdruck [mm]a^\bot[/mm] durch [mm]a[/mm] ersetzten ?
>
>
> Nun gut, das habe ich dann mal hingenommen.
> ABER, warum gilt :
> [mm]||b|^2a-|a|^2b|^2=|a||b||a-b|[/mm]
Nun, es ist [mm] $|x|^2=\left|x^2\right|$
[/mm]
Also [mm] $\left| \ |b|^2a \ - \ |a|^2b \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left|b^2\right|a \ - \ \left|a^2\right|b \ \right|$
[/mm]
[mm] $=\left|b^2a-a^2b\right|$
[/mm]
Nun $ab$ ausklammern:
[mm] $=\left|ab\cdot{}(b-a)\right|$
[/mm]
$=|a||b||b-a|=|a||b||a-b|$
Noch ein Quadrat drum und feddich ...
>
> Ich habe ganze DinA4-Seiten vollgeschrieben um mir das klar
> zu machen (über Skalarprodukt etc.) aber ich habs net
> geschafft.
>
> Wär schön wenn mir da jemand evtl nen Tipp geben
> könnte.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
also wie du das schreibst wird mir alles klar.
Sehe ich das dann aber richtig das es sich um zwei verschiedene Normen handelt(also 1. die für den [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und die 2. als ganz normaler Betrag ?
Also ich ging immer von [mm] $x^2=\vektor{x_{1}^2 \\ x_{2}^2}$ [/mm] mit $x [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] aus.
Aber es ist wohl [mm] $x^2=x^{t}*x==x_{1}^2+x_{2}^2$ [/mm] -> sehe ich das richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jeder Betrag, also auch jede Norm ist ein Vektor.
dein [mm] x^2 [/mm] macht keinen Sinn. [mm] x^2=x*x=
[/mm]
Ich würd versuchen selbst den Umkreis "herzustellen", ich denke das ist viel einfacher, als es hier aussieht.
gruss leduart
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Hallo,
also ich ging immer davon aus das eine Norm (also insbesondere der Betrag) eine Abbildung ist.. deswegen verstehe ich deine Antwort bzgl. Vektor nicht ganz.
Wie darf ich denn [mm] $x^2$ [/mm] interpretieren (stehe da irgendwie aufm Schlauch) ?
Kannst du mir nen Tipp geben wie es evtl. einfacher geht mit dem Kreis ?
Gruß Charlie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Norm ist eine "Abbildung" in die reellen Zahlen.
an was für Abb. hast du denn gedacht?
wenn du a*b für Vektoren schreibst, denkst du doch wohl auch an Skalaprodukt? was denkst du dann bei x*x wofür [mm] x^2 [/mm] nur ne Abkürzung ist?
Mein einfacher Beweis benutzt den Perepheriewinkelsatz, der ja hier umgekehrt aus dem umkreis und dem "Korrolar" hergeleitet wird.
vielleich doch ein Vorschlag, ob du den einfacher findest, weiss ich nicht.
die Mittelsenkrechten wie im Buch
[mm] 1.(a-b)*x=1/2*(a-b)*(a+b)=1/2(a^2-b^2)
[/mm]
2. [mm] (b-c)*x=1/2(b^2-c^2)
[/mm]
Der Schnittpunkt der 2 MS wird durch das GS
[mm] \vektor{a-b \\ b-c)}*x=1/2\vektor{a^2-b^2 \\ b^2-c^2}
[/mm]
bestimmt.
[mm] \vektor{a-b \\ b-c)}=A [/mm] ist die Matrix mit den 2 Zeilenvektoren,
[mm] \vektor{a^2-b^2 \\ b^2-c^2} [/mm] ein Vektor
wenn man die Inverse zu [mm] \vektor{a-b \\ b-c)} [/mm] findet hat man [mm] x=A^{-1}*1/2*\vektor{a^2-b^2 \\ b^2-c^2} [/mm]
Nimm eine Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] c^\bot-b^\bot [/mm] erste Spalte, [mm] a^\bot-b^\bot [/mm] 2 te Spalte, die ist bis auf den Faktor 1/2[a,b,c] die gesuchte Inverse.
damit hast du dem Mittelpunkt [mm] m=1/2[a,b,c](c^\bot-b^\bot,a^\bot-b^\bot )*1/2*\vektor{a^2-b^2 \\ b^2-c^2} [/mm]
ich find das schöner, man sieht wenigstens was man da rumrechnet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du schreiben was in dem Buch [mm] a^\bot [/mm] bedeutet ind was [a,b,c] ist das die Fläche des Dreiecks? (hab ich aus Dimensionsgründen geschlossen.)
Musst du dieses Buch benutzen? Für angehende Lehrer find ich das grässlich, weniger einladend kann man ja Geometrie kaum machen.
Aber Geometrie sollte man als Lehrer - und dann in Folge die Schüler- lieben1
Gruss leduart
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Hallo!
Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!!!
...also es wurde definiert als : $ [x,y,z]:= det(x-z,y-z)$
Also hast du es schon richtig geschlossen.
[mm] $a^\perp :=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }a [/mm] $
Also die Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
...dass [mm] $|a|=|a^\perp|$ [/mm] gilt ist mir klar da ja die Abbildung orthogonal ist.
Aber warum das in diesem Fall machen kann/darf [mm] $\rightarrow$ [/mm] da fehlt mir anscheind nen ganzes Paket Geometrie-Wissen.. :-(
ja ich finde das Buch auch net so dolle, aber ich muss halt aus diesem Buch bzw. aus einem ähnlichem Buch( ist bzgl diesem Thema alles gleich) von Max Koecher 3 Abschnitte bearbeiten. Unter anderem auch noch die Euler-Gerade und der Feuerbachkreis (Neunpunktekreis).
Ich hatte noch nie so guten draht zu Geometrie (will das aber ändern).
Hast du evtl ne Empfehlung bzgl eines guten Buches ?
Gruß
Charlie
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