Umwandlung v. Geradengleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 05.07.2006 | | Autor: | WIler |
| Aufgabe 1 | | Wandeln Sie die analytische Geradengleichung y = -2x + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] in Parameterform und Hessesche Normalform um. |
| Aufgabe 2 | | Finden Sie für die Gerade in Parameterform v = [mm] \vektor{3 \\ 6} [/mm] + [mm] \lambda *\vektor{3 \\ 1} [/mm] die analytische Geradengleichung und die Hessesche Normalform. |
| Aufgabe 3 | | Finden Sie für die Gerade in Hessescher Normalform < [mm] \bruch{1}{5}\vektor{-3 \\ 4}, [/mm] p> = -1 die Geradengleichung in Parameterform und die analytische Geradengleichung. |
Hallo,
ich habe ein Problem beim Umwandeln von Geradengleichungen in verschiedene Darstellungsformen. Habe bereits im Internet gesucht, jedoch nur etwas über Ebenen in [mm] \IR^3 [/mm] gefunden, nicht jedoch über Geraden in [mm] \IR^2. [/mm] Auch habe ich schon unter s.u. gepostet, aber keine brauchbaren Lösungsweg erhalten.
Leider bin ich alles andere als ein Matheass und komme damit einfach nicht klar, auch wenn es sicher nicht gerade zu den schwersten Aufgabenstellungen gehört.
Wir hatten diese Aufgaben in einem Mathetutorium, allerdings bin ich trotz Hilfestellung damit nicht klar gekommen. Ich bräuchte ganz dringend die Komplettlösung, da ich mir sowas immer nur an konkreten Beispielen mit Lösungswegen veranschaulichen kann.
Für eure schnelle Hilfe bedanke ich mich schon einmal im voraus ganz herzlich.
Gruß
WIler
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/76169,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Walde |
Hi WIler,
also:
analytische Form in Parameterform:
[mm] y=-2x+\bruch{2}{5}
[/mm]
Geht ganz einfach. Schreib einfach ein [mm] x=\lambda [/mm] in eine Zeile obendrüber und ersetze das x in deiner Geradengelichung ebenfalls durch [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] x=1*\lambda+0
[/mm]
[mm] y=-2*\lambda+\bruch{2}{5}
[/mm]
Jetzt einfach in Vektorschreibweise schreiben:
[mm] v=\vektor{x \\y }=\vektor{1 \\-2 }*\lambda+\vektor{0 \\ \bruch{2}{5}}
[/mm]
fertig.
analytisch in H.Normalenform:
Du brauchst erst einen Richtungsvektor der Geraden.Es gibt unendlich viele Richtungsvektoren. Du nimmst am besten den, den man am schnellsten findet, das ist ,wenn deine Geradengleichung y=m*x+b ist, einfach
[mm] \vektor{1 \\m },
[/mm]
bei dir also [mm] \vektor{1 \\ -2 }.
[/mm]
Dann brauchst du einen Normalenvektor der Geraden, den kriegst du aus dem Richtungsvektor. Wenn [mm] \vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] dein Richtungsvektor ist, dann ist
[mm] \vektor{-v_2 \\ v_1 } [/mm]
ein Normalenvektor, bei dir: [mm] \vektor{-m \\1 }=\vektor{2 \\ 1 }
[/mm]
Es gibt natürlich auch unendlich viele Normalenvektoren und die Hessesche Normalenform will es so, dass du einen mit der Länge 1 nimmst, einen sogenannten normierten Vektor. Dazu musst du deinen Normalenvektor noch durch [mm] \wurzel{v_1^2+v_2^2} [/mm] teilen, also
[mm] \bruch{1}{\wurzel{v_1^2+v_2^2}}\vektor{-v_2 \\ v_1 },
[/mm]
bei dir [mm] \bruch{1}{\wurzel{1^2+m^2}}\vektor{-m \\ 1 }=\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2 \\ 1 }.
[/mm]
Jetzt brauchst du irgendeinen Punkt auf der Geraden. Setze einfach für x=0 ein, dann erhälst du y=0,4 ,also den Punkt [mm] \vektor{0 \\ \bruch{2}{5}}.
[/mm]
Jetzt multiplizierst du deinen normierten Normalenvektor und den Punkt der Geraden:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2 \\ 1 }*\vektor{0 \\ \bruch{2}{5}}=\bruch{1}{\wurzel{5}}(2*0+1*\bruch{2}{5})=\bruch{2}{5*\wurzel{5}}.
[/mm]
deine HNV ist dann einfach [mm] <\bruch{1}{\wurzel{5}}\vektor{2 \\ 1 },p>=\bruch{2}{5*\wurzel{5}}
[/mm]
fertig.
Parameterform in analytisch:
[mm] v=\vektor{ x\\ y}=\vektor{ 3\\ 6}+\lambda\vektor{ 3\\ 1}
[/mm]
schreibst du einfach aus:
[mm] x=3+\lambda*3
[/mm]
[mm] y=6+\lambda*1
[/mm]
Einfach die obere Zeile nach [mm] \lambda [/mm] auflösen und in die 2.Zeile einsetzen:
[mm] x=3+\lambda*3\Rightarrow\lambda=\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
[mm] y=6+\bruch{1}{3}x-1=\bruch{1}{3}x+5
[/mm]
fertig.
Parameterform in HNV:
Siehe oben. Einen Richtungsvektor hast du ja schon angegeben und als Punkt auf der Geraden nimmst du einfach den Stützvektor [mm] \vektor{6 \\ 3}
[/mm]
fertig.
HNV in analytisch:
Einfach ausmultiplizieren:
[mm] <\bruch{1}{5}\vektor{-3 \\ 4}, \vektor{x\\y}>=-1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{5}*(-3*x+4*y)=-1
[/mm]
und nach y umstellen, fertig.
HNV in Paramterform:
Einen Normalenvektor hast du angegeben. Wenn du dazu (nochmal) einen Normalenvektor bildest, hast du einen Richtugsvektor für deine Gerade. Dann brauchst du nur noch einen Punkt auf der Geraden. Am besten machst du es wie obendrüber und setzt für x=0 ein und kuckst was für y rauskommt.
Alles klar?
L G walde
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