Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $\Omega=\left\{\omega_{1}, \ldots, \omega_{5}\right\}$ [/mm] mit
$$
[mm] \begin{array}{c|ccccc}{i} & {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ \hline \mathbb{P}\left(\omega_{i}\right) & {1 / 4} & {1 / 4} & {1 / 4} & {1 / 8} & {1 / 8}\end{array}
[/mm]
$$
Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ seien wie folgt definiert:
$$
[mm] X\left(\omega_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{-1,} & {\text { falls } i=1,3} \\ {x,} & {\text { falls } i=2,4} \\ {-5,} & {\text { falls } i=5}\end{array}\right., \quad Y\left(\omega_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{4,} & {\text { falls } i=1,4,5} \\ {2,} & {\text { falls } i=2,3}\end{array}\right.
[/mm]
$$
Gibt es Werte von $x,$ dafür $X$ und $Y$ unabhängig sind? Falls ja, welche? |
Hallo!
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich auf alle $x$ komme, sodass $X$ und $Y$ unabhängig sind, wenn es denn welche gäbe.
Kann man hier über die Korrelation gehen?
Laut Wikipedia, folgt zwar aus einer Unabhägigkeit die unkorrelation, allerdings andersherum nicht.
Hätte Jemand einen wegweisenden Tipp?
mfg
Jahn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Ich weiss Du fragst nur nach einem Tipp aber dir muss doch irgendetwas einfallen. Trau dich etwas und mach einen Ansatz!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 Do 30.05.2019 | | Autor: | Jahnas110 |
Hey,
also was ich sagen kann ist, dass im Falle $x=4$ eine Unkorreliertheit vorliegt aber dies scheint mir nichts zu bringen.
Normalerweise prüft man ja, ob das Produkt der Randverteilung gleich dem der zugehörigen Inneren Wahrscheinlichkeit ist. Nur wie soll man dies hier prüfen?
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Will Dich nicht bevormunden oder vollquatschen aber Du hast gar nichts gezeigt, und auch nichts bewiesen. Es ist ja keine mündliche Aufgabe sondern Du sollst es schriftlich zeigen oder falls es nicht geht formal begründen warum nicht. Es wäre schön zu sehen, dass Du, was auch immer Du im Sinn hast, formal niederschreibst, selbst wenn es Unsinn ist.
Ich kenne mich mit Wahrscheinlichkeitstheorie nicht aus (und kann mich daher an dieser Stelle nur ärgstens blamieren) aber in der Frage steht nichts von Korrelation/Unkorrelation und ich weiss auch nicht was Du genau damit meinst.
Was ich aber weiss ist dass es einen Satz gibt der besagt dass 2 Zufallsvariablen genau dann unabhängig voneinander sind, wenn gilt:
$P(X=a, Y=b) = P(X=a) [mm] \cdot [/mm] P(Y=b)$
für alle $a,b$ und für $P(X=a, Y=b)$ gleichbedeutend mit [mm] $P(\{X=a\} \cap \{Y=b \} [/mm] )$
Vielleicht bringt Dir das etwas (und Du findest es in Deinen Unterlagen wieder)
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Hey
Ok, ich merke dass du mich nicht richtig verstehst:)
Also erst einmal, was soll ich denn hier beweisen? Das $x$ und $Y$ für $x=4$ nicht korrelieren, also Das $cov(X,Y) = 0$ gilt? Dies habe ich persönlich schon gezeigt, wollte hier nur nicht 15 Zeilen Latex hinklatschen, denn dies würde zu weit führen und meine Frage nicht beantworten, denn aus der Unkorreliertheit folgt ja nicht die Unabhängigkeit. Den Beweis dazu finden man auf Wiki.
> $ P(X=a, Y=b) = P(X=a) [mm] \cdot [/mm] P(Y=b) $
Genau das habe ich ja in meinem letzten Post gesagt.
Die innere Verteilung muss mit dem Produkt der jeweilig dazugehörigen Randpunkten übereinstimmen.
Die Frage wäre nun ob das in dem Fall der sinnvolle Weg ist, deshalb habe ich gehofft einen Tipp zu bekommen, der mich an ein Sinnvollen Ziel führt ohne, dass ich zu viel rechnen muss. Natürlich könnte ich auch mittels Brute Force alles mögliche ausrechnen, aber ich glaube nicht, dass das der gewollte Weg ist?
LG
Jahn
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Hiho,
> Kann man hier über die Korrelation gehen?
> Laut Wikipedia, folgt zwar aus einer Unabhägigkeit die
> unkorrelation, allerdings andersherum nicht.
Das stimmt zwar, hätte dich aber trotzdem weitergeführt, denn du schreibst ja in deinem späteren Post:
> Das $X$ und $Y$ für $x=4$ nicht korrelieren, also Das $cov(X,Y) = 0$ gilt? Dies habe ich persönlich schon gezeigt
Du hast also gezeigt: Nur für $x = 4$ sind die ZV unkorreliert. Für [mm] $x\not=4$ [/mm] korrelieren sie also und können damit nicht unabhängig sein!
$x=4$ wäre also der einzige Kandidat für Unabhängigkeit… und für den könnte man das dann konkret nachrechnen.
Einfacher ist aber tatsächlich der direkte Weg:
> > $ P(X=a, Y=b) = P(X=a) [mm] \cdot [/mm] P(Y=b) $
> Natürlich könnte ich auch mittels Brute Force alles mögliche ausrechnen, aber ich glaube nicht, dass das der gewollte Weg ist?
Was ist an 6 Zeilen denn bitte schön "zu viel"?
Ist weniger als die Hälfte deiner "15 Zeilen Latex"
Gruß,
Gono
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Hallo Gono
> Was ist an 6 Zeilen denn bitte schön "zu viel"?
Ich bin ein fauler Mensch:)
Nein, also mir geht es hier darum, eine schnelle Möglichkeit zu finden, denn die unkorreliertheit musste ich vorher schon nachweisen, deshalb dachte ich mir, dass die Aufgabensteller doch bestimmt etwas anders im Blick hatten.
> Du hast also gezeigt: Nur für $ x = 4 $ sind die ZV unkorreliert. Für $ [mm] x\not=4 [/mm] $ korrelieren sie also und können damit nicht unabhängig sein!
> $ x=4 $ wäre also der einzige Kandidat für Unabhängigkeit… und für den könnte man das dann konkret nachrechnen.
Was du hier schreibst ist nun für mich sehr interessant.
Also aus Unkorreliertheit folgt nicht nicht Unabhängigkeit, aber aus der Korreliertheit folgt die Abhängigkeit?
Also müsste ich dann jetzt nur $ P(X=a, Y=b) = P(X=a) [mm] \cdot [/mm] P(Y=b) $ berechnen. Dazu hätte ich allerdings auch noch eine Frage, wie füllt man diese Formel, denn es gibt ja pro Randwert mehrere innere Werte und die Randwerte stimmen ja auch nicht überein, wie z.B in einer klassischen rechteckigen Tabelle. ?
Grüße
Jahn
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Hiho,
> Ich bin ein fauler Mensch:)
Schlecht.
> Nein, also mir geht es hier darum, eine schnelle
> Möglichkeit zu finden, denn die unkorreliertheit musste
> ich vorher schon nachweisen, deshalb dachte ich mir, dass
> die Aufgabensteller doch bestimmt etwas anders im Blick
> hatten.
Na dann hast du doch schon 90% der Arbeit hinter dir…
> Also aus Unkorreliertheit folgt nicht nicht
> Unabhängigkeit, aber aus der Korreliertheit folgt die
> Abhängigkeit?
Oh oh, da hat jemand bei den logischen Grundlagen nicht aufgepasst.
Du solltest wissen, dass gilt:
[mm] $\text{X,Y unabhängig} \Rightarrow [/mm] Cov(X,Y) = 0$
Weiterhin solltest du wissen, dass die sogenannte "Kontraposition" äquivalent ist zur Implikation, d.h. gilt die Implikation $p [mm] \Rightarrow [/mm] q$ so auch die Kontraposition [mm] $\neg [/mm] q [mm] \Rightarrow \neg [/mm] p$
Die Kontraposition zu
[mm] $\text{"X,Y unabhängig"} \Rightarrow [/mm] Cov(X,Y) = 0$
ist aber gerade
$Cov(X,Y) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \text{X,Y nicht unabhängig}$
[/mm]
> Also müsste ich dann jetzt nur [mm]P(X=a, Y=b) = P(X=a) \cdot P(Y=b)[/mm]
> berechnen. Dazu hätte ich allerdings auch noch eine Frage,
> wie füllt man diese Formel, denn es gibt ja pro Randwert
> mehrere innere Werte und die Randwerte stimmen ja auch
> nicht überein, wie z.B in einer klassischen rechteckigen
> Tabelle. ?
Erstmal: Wo hast du die ganzen "komischen" Begriffe her?
Was sind denn "innere Werte"?
Im Normalfall nennt man das links "gemeinsame Verteilung".
D.h. es gilt: X,Y unabhängig, genau dann, wenn die gemeinsame Verteilung der Produkt der Rand-/Einzelverteilungen ist.
Und ja, du hast hier nicht die gemeinsame Verteilung geben, sondern sogar mehr Informationen: Die Einzelwahrscheinlichkeiten der [mm] $\omega_i$
[/mm]
Bestimme also, welche [mm] $\omega_i$ [/mm] jeweils die Ereginisse [mm] $\{X=a\},\{Y=b\},\{X=a,Y=b\}$ [/mm] erfüllen und du hast deine Wahrscheinlichkeiten.
Gruß,
Gono
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Ja, da hast du recht,auf die Kontraposition bin ich nicht gekommen. Dann stellt sich allerdings die Frage, warum ich dann noch extra $x=4$ auf Unabhängigkeit prüfen muss?
> Erstmal: Wo hast du die ganzen "komischen" Begriffe her?
Ja tut mir leid, dort habe ich geschlammt ich meine natürlich die gemeinsame Verteilung und die Randpunkte.
Ich scheitere nun tatsächlich am einfachsten Teil Ich verstehe ich nicht ich $ [mm] \{X=a\}*\{Y=b\}= \{X=a,Y=b\} [/mm] $
berechnen kann.
Ok irgendwie bin ich noch total raus, ich starre nun seit 20 Minuten auf die Tabelle.
Was davon ist die gemeinsame Verteilung und was sind die Randpunkte?
Ich habe keine Ahnung wie ich das berechnen soll. Ich weiß du hast mir etwas dazu geschrieben aber dies verstehe ich nicht.
Entschuldige bitte meine "Dummheit" ich studiere seit 3 Semestern Mathematik und ich glaube ich bin dafür nicht schlau genug.wenn ich jetzt schon hier dran scheitere.
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Hiho,
> Ja, da hast du recht,auf die Kontraposition bin ich nicht
> gekommen. Dann stellt sich allerdings die Frage, warum ich
> dann noch extra [mm]x=4[/mm] auf Unabhängigkeit prüfen muss?
Weil für $x=4$ (sofern deine Berechnungen stimmen) nur Unkorreliertheit vorliegt.
Aus Unkorreliertheit folgt aber nicht notwendigerweise Unabhängigkeit, die sollst du aber nachweisen.
> Ich scheitere nun tatsächlich am einfachsten Teil Ich
> verstehe ich nicht ich [mm]\{X=a\}*\{Y=b\}= \{X=a,Y=b\}[/mm]
> berechnen kann.
> Ok also Kann man die Unabhängigkeit denn überhaupt aus dieser Darstellung berechnen? Erwartungswert Varianz alles keine Problem, aber wie soll man denn P(X=a,X=b) berechnen, was soll a und was soll b hier sein?
Tja, wie wäre es mal mit Definitionen nachschlagen?
Für Unabhängigkeit muss gelten:
$P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)$ für alle [mm] $a\in X(\Omega), [/mm] b [mm] \in Y(\Omega)$
[/mm]
d.h. a sind alle Werte, die X annehmen kann, b sind alle Werte, die Y annehmen kann.
Und du musst obige Gleichung für alle Kombinationen verifizieren.
Ich machs dir mal für eine Kombination vor:
Eine Kombination wäre bspw $a=-1, b=2$
1.) Wann ist [mm] $X(\omega_i) [/mm] = -1$? Für $i=1,3$, d.h.
[mm] $\{X=-1\} [/mm] = [mm] \{\omega_1,\omega_3\}$
[/mm]
Dann ist $P(X = -1) = [mm] P(\omega_1,\omega_3) =\, [/mm] ?$
2.) Wann ist [mm] $Y(\omega_i) [/mm] = 2$? Für $i=2,3$, d.h.
[mm] $\{Y=2\} [/mm] = [mm] \{\omega_2,\omega_3\}$
[/mm]
Dann ist $P(Y = 2) = [mm] P(\omega_2,\omega_3) =\, [/mm] ?$
3.) [mm] $\{X=-1,Y=2\}$ [/mm] ist nun gerade die Menge, wo beides gilt, also die [mm] $\omega_i$ [/mm] für die beide Gleichungen gelten, d.h. der Schnitt von beiden Mengen. Es ist also:
[mm] $\{X=-1,Y=2\} [/mm] = [mm] \{X=-1\} \cap \{Y=2\} [/mm] = [mm] \{\omega_1,\omega_3\} \cap \{\omega_2,\omega_3\} [/mm] = [mm] \{\omega_3\}$
[/mm]
Folglich ist
$P(X=-1,Y=2) = [mm] P(\omega_3) [/mm] = [mm] \,?$ [/mm]
Gilt nun also: $P(X=-1,Y=2) = P(X=-1) P(Y=2)$ ?
Nun du für alle anderen Kombinationen von a und b.
Gruß,
Gono
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> Tja, wie wäre es mal mit Definitionen nachschlagen?
Es liegt nicht an den Definitionen, sondern (wie ich in den letzten 3 Posts erwähnt habe) an meinem Unverständnis die Tabellen richtig zu lesen.
Nun Frage ich mich warum du die Kombination a=-1, b=2 genommen hast, wir wollen doch für 4 Prüfen? Und da liegt doch genau das Problem, wenn ich a=4 nehme, was ist dann b?
Ich glaube du verstehst mein Problem hier nicht richtig.
1.) Wann ist $ [mm] X(\omega_i) [/mm] = -1 $? Für i=1,3, d.h.
$ [mm] \{X=-1\} [/mm] = [mm] \{\omega_1,\omega_3\} [/mm] $
Dann ist $ P(X = -1) = [mm] P(\omega_1,\omega_3) =\, [/mm] ? $
Hier liegt das Problem, wie soll ich denn [mm] P(\omega_1,\omega_3) [/mm] berechnen, es ist nicht vorgegeben.
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Hiho,
> Nun Frage ich mich warum du die Kombination a=-1, b=2
> genommen hast, wir wollen doch für 4 Prüfen? Und da liegt
> doch genau das Problem, wenn ich a=4 nehme, was ist dann b?
Du hast rausbekommen: x=4
Dann ist:
$ [mm] X\left(\omega_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{-1,} & {\text { falls } i=1,3} \\ {4,} & {\text { falls } i=2,4} \\ {-5,} & {\text { falls } i=5}\end{array}\right., \quad Y\left(\omega_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{4,} & {\text { falls } i=1,4,5} \\ {2,} & {\text { falls } i=2,3}\end{array}\right. [/mm] $
Welche Werte kann also X annehmen? -1,4,-5
Welche Werte kann also Y annehmen? 4,2
Nun sollst du alle Kombinationen von möglichen Werten von X und möglicher Werte von Y prüfen. Welche Kombinationen gibt es dann?
Und $a=-1, b=2$ ist eine davon.
> Ich glaube du verstehst mein Problem hier nicht richtig.
>
>
> 1.) Wann ist [mm]X(\omega_i) = -1 [/mm]? Für i=1,3, d.h.
> [mm]\{X=-1\} = \{\omega_1,\omega_3\}[/mm]
> Dann ist [mm]P(X = -1) = P(\omega_1,\omega_3) =\, ?[/mm]
>
> Hier liegt das Problem, wie soll ich denn
> [mm]P(\omega_1,\omega_3)[/mm] berechnen, es ist nicht vorgegeben.
Grundlagen: Es ist ja [mm] $\omega_1 \not= \omega_3$, [/mm] damit ist [mm] $P(\omega_1,\omega_3) [/mm] = [mm] P(\omega_1) [/mm] + [mm] P(\omega_3)$ [/mm] (warum?)
Und [mm] $P(\omega_1)$ [/mm] als auch [mm] $P(\omega_3)$ [/mm] kannst du aus deiner Tabelle ablesen:
$ [mm] \begin{array}{c|ccccc}{i} & {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ \hline \mathbb{P}\left(\omega_{i}\right) & {1 / 4} & {1 / 4} & {1 / 4} & {1 / 8} & {1 / 8}\end{array} [/mm] $
Gruß,
Gono
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Hallo Gono,
also fassen wir mal zusammen.
Ich muss nur für $x=4$ prüfen, denn nur dort könnte die Unabhängigkeit folgen. Damit gibt es nun 6 zu prüfende Kombinationen.
1:$P(X=-1) * P(Y=4) = P(X=-1, Y=4)$
- $P(X=-1) * P(Y=4) [mm] =(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})*(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} =\frac{2}{4}*\frac{4}{8} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
- $P(X=-1, Y=4) = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
Somit gilt 1.
Nun kürze ich ab
2:$P(X=-1) * P(Y=2) = [mm] \frac{1}{4}= [/mm] P(X=-1, Y=2)$
3:$P(X=4) * P(Y=4) = [mm] \frac{12}{64} \neq \frac{1}{2} [/mm] P(X=4, Y=4)$ Filt nicht, also sind Y und X nicht unabhängig. ?
Aber macht dies denn so sinn? Denn ich könnte ja alles für x einsetzen und ich würde immer dasselbe ausbekomme, denn ich betrachte x ja garnicht?
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Hiho,
> 3:[mm]P(X=4) * P(Y=4) = \frac{12}{64} \neq \frac{1}{2} P(X=4, Y=4)[/mm]
> Filt nicht, also sind Y und X nicht unabhängig. ?
Bis auf die Tatsache, dass $P(X=4, Y=4) = [mm] \frac{1}{8}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] stimmt das soweit.
> Aber macht dies denn so sinn? Denn ich könnte ja alles
> für x einsetzen und ich würde immer dasselbe ausbekomme,
> denn ich betrachte x ja garnicht?
Du betrachtest x natürlich schon. Bedenke, dass deine letzte Zeile (wenn du x nicht eingesetzt hättest), ja lauten würde:
[mm]P(X=x) * P(Y=4) = \frac{12}{64} \neq \frac{1}{8} = P(X=x, Y=4)[/mm]
Aber du hast recht, dass x keine Rolle für die Untersuchung der Unabhängigkeit spielt. Egal welche Werte x ungleich -1 oder -5 hätte, das Ergebnis wäre dasselbe gewesen. Die Betrachtung der Unabhängigkeit ist unabhängig von x, im Allgemeinen sogar grundsätzlich von den Werten, die die ZV annehmen können.
Es ist einzig wichtig, auf welchen Mengen unterschiedliche Werte angenommen werden. Welche unterschiedlichen Werte das exakt sind, ist dabei egal.
Interessant sind dann nur noch die Fälle $x = -1$ oder $x = -5$, weil sich dann die Urbilder ändern.
Aber wenn du da bereits nachgewiesen hattest, dass die ZV dann korrelieren, können sie dann nicht unabhängig sein (das hab ich jetzt nicht nachgerechnet).
Gruß,
Gono
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Ok also Kann man die Unabhängigkeit denn überhaupt aus dieser Darstellung berechnen? Erwartungswert Varianz alles keine Problem, aber wie soll man denn $P(X=a,X=b)$ berechnen, was soll a und was soll b hier sein? $a=b=4$? Und wie kommt man damit auf die gemeinsame Verteilung und die Randpunkte?
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